libro

Universidad del Quindío

 

Autores:

Rosa María Méndez Parra
Licenciada en Matemáticas y Computación, Magíster en Biomatemáticas
Adscrita al Programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del Quindío
Edgar Javier Carmona Suaréz
Ingeniero de Sistemas, Doctor en TIC
Adscrito al Programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del Quindío
Heiller Gutiérrez Zuluaga
Licenciado en Matemáticas y Computación, Magíster en Educación
Adscrita al Programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad del Quindío


No está permitida importar, vender, difundir, distribuir y exportar total o parcialmente esta obra, ni su tratamiento o trasmisión por cualquier método sin autorización escrita del editor.
ISBN: 978-958-8801-05- ELIZCOM S.A.S www.elizcom.com - Cel: (57)3113349748. Fax: (57)(6)7493244 - Armenia, Quindío - 2013

Tabla de Contenido

Introducción

Este texto, surge con el deseo de aportar a estudiantes de nivel superior, en cualquier área del conocimiento que requiera los conceptos del cálculo diferencial, un material de trabajo y apoyo que le permitan apropiarse de la teoría que en el mismo se plantee.
Además de lo anterior, se pretende que el estudiante complemente la parte teórica que aquí se encuentra con la práctica que ofrecen muchos softwares o programas que permiten visualizar la variación o comportamiento de las funciones: entre otros, podemos contar con: Geogebra, Graphmatica, wolframAlpha. En este mismo sentido, la universidad de Los Andes, ofrece en el link: http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/ejercicios on-line sobre límites que permiten a los estudiantes analizar el comportamiento de funciones y el valor de los límites propuestos.
El libro empieza con el concepto de función. Éste es la base del estudio de toda área de la matemática: cálculos, ecuaciones diferenciales, análisis. Posteriormente, se continúa con el estudio de los límites de una función, luego se trabaja la derivada de una función, la cual se inicia con el planteamiento del problema de la recta tangente y por último la unidad de aplicaciones de la derivada de una función.
Al final de cada una de las unidades temáticas, se ofrece un listado no extenso, de ejercicios para desarrollar, la idea no es realizar un sinnúmero de los mismos, sino mostrar el manejo y el desarrollo de pensamiento lógico, como también, la aprehensión de los conocimientos que fueron ofrecidos, en el desarrollo.

1 Funciones

En diversas situaciones de la vida cotidiana, se presentan relaciones que pueden ser modeladas a través de ecuaciones o fórmulas matemáticas; a manera de ejemplo, se tienen: x2 + y2 = 1, (x2)/(4) + (y2)/(2) = 4, y = 3(1 − x) y = (2(3x − 5))/(1 − x), entre muchas otras. Infinitas relaciones de éstas, pueden reunirse en un grupo llamado Funciones.
Lo anterior indica, que toda función es una relación, más no toda relación es una función.
Se cree que desde la época de los babilonios, en problemas referentes a la astronomía, se usaba el concepto de función. Más adelante, el matemático francés Nicole de Oresme mostró su trabajo realizado en torno a la representación gráfica de funciones y Thomas Bradwardine un poco antes que Oresme, presenta lo que hoy en día se conoce como la función potencia, al resolver un problema relacionado con la fuerza de resistencia y la velocidad de un cuerpo varía de acuerdo a dicha resistencia. Posteriormente, muchos otros grandes matemáticos han seguido aportando hasta tener lo que hoy en día se maneja en teoría y notación. Fueron G. W. Leibniz y L. Euler quienes escribieron separadamente, por primera vez, la palabra función y la notación f(x), respectivamente.
Una función es una relación o regla matemática, establecida entre dos conjuntos A y B, A es llamado conjunto de salida y B es llamado conjunto de llegada, de tal manera que cada elemento del conjunto de salida se relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto de llegada.
La figuras 1.1↓ y 1.2↓ ilustran dos tipos de relaciones no matemáticas, para los cuales la primera no es una función y la segunda si los es.
figure Imagenes/Grafica_6.png
Figure 1.1 Relación que no es función.
figure Imagenes/Grafica_6_A.png
Figure 1.2 Relación que es función.
Las figuras de la 1.3↓ a la 1.8↓ ilustran relaciones matemáticas, algunas de las cuales no son funciones y otras que lo son (se indica con el nombre matemático que recibe).
Son funciones:
figure Imagenes/Grafica_7.png
Figure 1.3 Función Identidad.
figure Imagenes/Grafica_7_A.png
Figure 1.4 Función constante
figure Imagenes/Grafica_8.png
Figure 1.5 Función Cuadrática.
No son funciones:
figure Imagenes/Grafica_9.png
Figure 1.6 Relación que no es función.
figure Imagenes/Grafica_9_A.png
Figure 1.7 Relación que no es función.
x y =  − (x)/(2)
 − 10 0.5
 − 1 (1)/(2)
2  − 1
4  − 2
Figure 1.8 Función Lineal.
La figuras 1.3↑, 1.4↑, 1.6↑ y 1.7↑ se llaman diagrama sagital, la figura 1.5↑ ilustra una función en el plano cartesiano y la figura 1.8↑ muestra una tabla de valores para la función dada.

1.1 Función Real

Cuando en una función, en los conjuntos A y B, sus elementos son números reales, la función se llama FUNCIÓN REAL de variable real, más resumidamente FUNCIÓN REAL.
Las funciones se denotan por letras f, g, h y su variable independiente por x, u, z, t, y se escribe cursiva f(x), g(u), h(t); se leen: f de x, g de u y h de t, respectivamente.
Observe como se pueden expresar las funciones:
f(x)  = x + 5 o también y =  x + 5
Esto indica que f es una función evaluada en su variable independiente x. Variable dependiente Variable independiente
Otros ejemplos de funciones son:
Note que para cada una de las funciones anteriores, la variable independiente toma un valor real adecuado (es decir , de acuerdo a la expresión matemática que se tenga). Por ejemplo:
Para
g(t)  =  sint + cost g : ℝ → ℝ t ∈ ℝ → g(t) ∈ ℝ

1.2 ¿Cómo evaluamos funciones?

Una función se evalúa en algún valor de su variable independiente, para conocer cual es el valor que ella toma en ese valor; esto se hace como se indica a continuación:

1.3 Elementos de una función

1.3.1 Dominio: (Df)

El dominio de una función f es el conjunto de salida, esto es, son todos los valores de la variable independiente para los cuales la función tiene sentido.

1.3.2 Rango: (Rf)

El rango de una función f son aquellos elementos del conjunto de llegada que se relacionan con los elementos del dominio de la función, o también sirven de imagen a los elementos del dominio.
La figura 1.9↓ ilustra gráficamente el dominio y rango de la función identidad.
figure Imagenes/Grafica_11.png
Figure 1.9 Función Identidad
Note que este caso la variable x puede tomar cualquier valor, por lo tanto el dominio de la función f es el conjunto de los números reales.
f(x)  =  x f : ℝ → ℝ Df: R ,y, Rf: R
Otros ejemplos de funciones y sus respectivos dominio y rango se muestran a continuación.
Nota: Para determinar el dominio de una función cualquiera, se debe analizar la expresión matemática y excluir aquellos valores, para los cuales la función no tenga sentido matemático.
Hallar el dominio de las siguientes funciones.
1 − x  ≥  0  − x  ≥   − 1
x2 − 4  =  0 (x + 2)(x − 2)  =  0 x = 2 x =  − 2
figure Imagenes/Grafica_14.png
Figure 1.12 Ejemplo f) dominio
Por lo tanto el dominio es:
Df = x ≤ 1 − { − 2}

1.3.3 Criterio de la recta vertical

Si al trazar una recta vertical (paralela al eje Y), ésta corta la curva de relación sólo una vez en todo momento, entonces la gráfica es la curva de una función.
figure Imagenes/Grafica_10.png
Figure 1.13 Criterio de la recta vertical.

1.4 Álgebra de Funciones

Dadas dos funciones f y g ellas se puede operar así:
El dominio en cada caso será la intersección de los dominios de las funciones involucradas y para la división, se exceptuan los valores que hacen cero el denominador.
Sean f(x) = sinx y g(x) = (x) entonces:
(f(x))/(g(x)) = (sinx)/((x)),  x ≠ 0  y el dominio Df ⁄ g = x > 0
Sean f(x) = (1 − x) y g(x) = (1 + x), entonces:

1.5 Clasificación de funciones

Las funciones se clasifican según varios criterios. En este texto se estudian según: su simetría, según su dominio y rango y la naturaleza de la expresión matemática que involucra.

1.5.1 De acuerdo a la Simetría

1.5.1.1 Función Par

Es toda función que satisface la siguiente condición:
f(x) = f( − x),  x ∈ Df
Geométricamente, esto significa que la curva de la función es simétrica respecto al eje Y.
A continuación se muestran algunas funciones pares y no pares

1.5.1.2 Función Impar

Es toda función que satisface la siguiente condición:
f( − x) =  − f(x), x ∈ Df
Geométricamente, es toda función que satisface que la gráfica de su curva es simétrica respecto al origen.
A continuación se muestran algunas funciones impares.

1.5.2 Clasificación de las funciones según su dominio y rango

Según como sea el domino y el rango de las funciones, ellas se clasifican en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. A continuación se definen cada una de este tipo de funciones.

1.5.2.1 Función inyectiva o uno a uno

Una función es inyectiva cuando cada elemento del rango sirve de imagen a lo mas a un elemento del dominio esto es,
Si f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas.

1.5.2.2 Función Sobreyectiva

Una función es Sobreyectiva cuando el rango de la función coincide con el codominio de la misma, esto es, cuando todos los elementos del codominio sirven de imagen a algún elemento del dominio.

1.5.2.3 Función Biyectiva

Una función es biyectiva cuando una función es sobreyectiva e inyectiva, la figura 1.23↓ ilustra este tipo de función.
figure Imagenes/Grafica_74.png
Figure 1.23 Función Biyectiva

1.5.3 De acuerdo a la naturaleza de la función que se presenta

1.5.3.1 Función Polinómica

Es toda función cuya expresión matemática es un polinomio:
Monomios Binomios Trinomios Polinomios
1.5.3.1.1 Función Lineal
Es una función de la forma
f(x) = ax + b,  a, b ∈ ℝya ≠ 0
Las siguientes funciones son lineales.
Como la variable independiente toma cualquier valor, el dominio de toda función lineal son los reales, igual que el rango, esto es:
Dominio: x ∈ ℝ y Rango: y ∈ ℝ
De Geometría Analítica, se sabe que la gráfica de una función de la forma f(x) = mx + b es una línea recta, veamos:
1.5.3.1.2 Función Cuadrática
Es una función de la forma
f(x) = ax2 + bx + c
Donde, a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0.
Como la variable x puede tomar cualquier valor, entonces el dominio de la función son los reales esto es Df: x ∈ ℝ.
La gráfica de esta función es una curva llamada parábola.
Para la siguiente función se evalúan en algunos valores de su variable, como se indica:
f(0) = 1 (0, 1) f(2) = 9 (2, 9) f( − 2) = 1 ( − 2, 1) f(1) = 4 (1, 4) f( − 1) = 0 ( − 1, 0)
¿Cómo será la gráfica en este caso?
En lo que sigue, trabajaremos las gráficas de las funciones cuadráticas analizando sus generalidades.
Características generales de la función cuadrática
En la función f(x) = x2 + 2x + 1, a = 1 , b = 2  y c = 1.
x + 1 = 0,   si y solo si x =  − 1
Entonces el intercepto con el eje X está en el punto ( − 1, 0). La curva de la función se muestra en la figura 1.27↓.
figure Imagenes/Grafica_27.png
Figure 1.27 f(x) = (x + 1)2
 − (b)/(2a) =  − (5)/(2)  y f((5)/(2)) = ( − (5)/(2))2 + 5((5)/(2) + 6)
entonces el vértice está en: ((5)/(2), (99)/(4))
(x − 6)(x + 1) = 0
x = 6 y x =  − 1, entonces la curva corta en el eje X en los puntos (6, 0) y ( − 1, 0). La curva se muestra en la figura 1.28↓
figure Imagenes/Grafica_28.png
Figure 1.28 f(x) =  − x2 + 5x + 6
1.5.3.1.3 Función Cúbica
Es una función de la forma:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, con a ≠ 0  y a, b, c, d ∈ ℝ.
Como la varible x puede tormar cualquier valor, entonces el dominio de toda función cúbica son los reales, esto es, Df:x ∈ ℝ, y su rango también será este conjunto, es decir, Rf:y ∈ ℝ.
Para la gráfica de la función cúbica se procederá de manera semenjante a lo que se hizo con la función cuadrática.
Caracteristicas
1.5.3.1.4 Función polinómica de grado mayor a 3
Es una función de la forma
f(x) = anxn + an − 1xn − 1 + ⋯ + a1x + a0
donde an ≠ 0 y an − 1, …, a2, a1, a0 ∈ ℝ .
Este tipo de función tienen similitudes en cuanto a su gráfica, a las curvas de las funciones cuadráticas y cúbicas.
En general la gráfica de la función polinómica f(x) = anxn + an − 1xn − 1 + ⋯ + a1x + a0 presenta las siguientes características:
Para la función f(x) = x(x − 1)3(x2 − 4), se tiene a continuación, su curva y el análisis previo para el bosquejo de la curva de la función.
Con los elementos anteriores, la curva de la función se muestra en la figura 1.32↓.
figure Imagenes/Grafica_26B.png
Figure 1.32 f(x) = x(x − 1)3(x2 − 4)
1.5.3.1.5 Función constante
Es una función de la forma
f(x) = a0
esta función es un caso particular de una función polinómica en la cual an,  an − 1, …,  a2 y a1 son todas cero.
En este caso, el dominio de la función son todos los reales, esto es Df: x ∈ ℝ y el rango es a0, esto es, Rf: y ∈ {a0}.
Su gráfica se muestra en la figura 1.33↓
figure Imagenes/Grafica_26C.png
Figure 1.33 Gráfica f(x) = (3)/(2)

1.5.3.2 Funciones Especiales

1.5.3.2.1 Función a Tramos o a Trózos
Este tipo de función está conformado por tramos, cada uno de los cuales es una función de las ya estudiadas. La función f(x) = |x|, es un ejemplo de ella. El dominio es dado por la unión de los dominios de las funciones que la conforman, igual que su rango.
Sea la función f(x) =  2x + 5,   x ≤  − 1        x2,   0 ≤ x ≤ 1         − x,   x > 1 
Notemos que en este caso, el dominio será: Df = ( − ∞,  − 1]∪[0, ∞) y el rango Rf = y ∈ ( − ∞, 3]
figure Imagenes/Grafica_57.png
Figure 1.34 Función a Tramos.
1.5.3.2.2 Función Valor Absoluto
Esta función se define como:
f(x) = |x| =  x,   x ≥ 0         − x,   x < 0 
En este caso, el dominio y el rango de la función, están dados por:
Df = ℝ y Rf = y ≥ 0
Notemos que esta función está definida en dos partes, una para los valores negativos de la variable x y otra para los valores positivos de la misma. Su gráfica se muestra en la fig. 1.35↓.
figure Imagenes/Grafica_55.png
Figure 1.35 f(x) = |x|
Propiedades importantes del valor absoluto.
Más que una demostración rigurosa, lo que se presenta es una idea intuitiva de las dos propiedades, tomando el valor absoluto como una distancia entre un número y el cero.
1.5.3.2.3 Función Parte Entera
Es una función de la forma.
f(x) = [|x|], donde [|x|] = n, si n ≤ x < n + 1, n ∈ ℤ
En otras palabras, la función parte entera es el mayor entero menor o igual a x.
.
[|1|]  =  1 [|(3)/(2)|]  =  1 [|2|]  =  2 [|0.5|]  =  0
Es este caso el dominio es: Df = ℝ, y el rango de la función es: Rf = y ∈ ℤ
La gráfica de la función f(x) = [|x|] se muestra en la figura.1.38↓
figure Imagenes/Grafica_56.png
Figure 1.38 f(x) = [|x|]

1.5.3.3 Funciones Trigonométricas

Antes de estudiar estas funciones trigonomética recordemos las definiciones de las razones trigonométricas:
2
\endmulticols
1.5.3.3.1 Función Seno
Esta función denotada por f(x) = sinx, tiene las siguientes características:
  1. La función seno está definida para todos los números reales (), luego, el dominio de la función y = sinx es: Df = ℝ
  2. El menor valor que toman las imágenes es  − 1 y el mayor valor es 1. Luego, el rango de la función y = sinx es el conjunto {y ∈ ℝ| − 1 ≤ y ≤ 1}
  3. La función f(x) = sinx es periódica y su período es 2π. Esto significa que sinx = sin(x + 2nπ), con n ∈ ℤ.
  4. La función f(x) = sinx es impar, puesto que sin( − x) =  − sin(x).
  5. La función y = sinx varía como indica el cuadro 1.2↓,
    Cuadrante Variación de x Comportamiento y = sinx Valores
    I entre 0 y (π)/(2) Creciente entre 0 y 1
    II entre (π)/(2) y π Decreciente entre 1 y 0
    III entre π y (3π)/(2) Decreciente entre 0 y -1
    IV entre (3π)/(2) y 2π Creciente entre -1 y 0
    Table 1.2 Comportamiento de la función f(x) = sin(x)
  6. La función Seno no es 1-1 o inyectiva.
  7. f(x) = sinx alcanza su valor máximo en 1, esto es para los valores de x de la forma x = (π)/(2) + 2nπ, con n ∈ ℤ.
  8. f(x) = sinx alcanza su valor mínimo en -1, esto es para los valores de x de la forma x =  − (π)/(2) + 2nπ, con n ∈ ℤ.
La gráfica de la función f(x) = sinx se muestra en la figura 1.39↓.
figure Imagenes/Grafica_31.png
Figure 1.39 f(x) = sinx
figure Imagenes/Grafica_32.png
Figure 1.40 período y rango de la función Seno.
1.5.3.3.2 Función Coseno
Esta función denotada por f(x) = cosx, tiene las siguientes características:
  1. El dominio de la función f(x) = cosx es el conjunto de los . Df:ℝ.
  2. El rango de la función f(x) = cosx es el conjunto {y ∈ ℝ| − 1 ≤ y ≤ 1}.
  3. La función f(x) = cosx es periódica, de período 2π, esto significa que cosx = cos(x + 2nπ) con n ∈ ℤ.
  4. f(x) = cosx es par, puesto que cosx = cos( − x), es decir, la función f(x) = cosx es simétrica con respecto al eje Y.
  5. La función f(x) = cosx varía como lo indica el cuadro 1.3↓:
    Cuadrante Variación de x Comportamiento y = cosx Valores
    I entre 0 y (π)/(2) Decreciente entre 1 y 0
    II entre (π)/(2) y π Decreciente entre 0 y -1
    III entre π y (3π)/(2) Creciente entre -1 y 0
    IV entre (3π)/(2) y 2π Creciente entre 0 y 1
    Table 1.3 Comportamiento de f(x) = cosx
  6. La función Coseno no es 1-1 o inyectiva.
  7. f(x) = cosx alcanza su valor máximo en 1, esto es para los valores de x de la forma x = 2nπ, con n entero par.
  8. f(x) = cosx alcanza su valor mínimo en -1, esto es para los valores de x de la forma, x = nπ, con n entero impar.
La gráfica de la función f(x) = cosx se muestra en la figura 1.41↓.
figure Imagenes/Grafica_33.png
Figure 1.41 f(x) = cosx
figure Imagenes/Grafica_34.png
Figure 1.42 período y rango de la función Coseno.
1.5.3.3.3 Función Tangente
Esta función denotada por f(x) = tanx, tiene las siguientes características:
  1. La función f(x) = tanx no está definida por valores de x de la forma x = (nπ)/(2) con n entero impar. Cuando el valor de x se aproxima a dichos valores por la izquierda, se observa que el valor de la función aumenta indefinidamente y cuando x se aproxima por la derecha a dichos valores, la función disminuye indefinidamente, se dice que en estos valores de x, la función f(x) = tanx tiene asíntotas verticales.
  2. El dominio de la función f(x) = tanx es el conjunto
    Df = {x ∈ ℝ| x ≠ n(π)/(2),   n entero impar}

  3. El rango de la función f(x) = tanx es el conjunto de los . Rf = y ∈ ℝ.
  4. La función f(x) = tanx es periódica, de período π, por esta razón,
    tanx = tan(x + nπ), n ∈ ℤ
  5. La función f(x) = tanx es impar, puesto que tan( − x) =  − tan(x), por esto, está función es simétrica con respecto al origen.
  6. f(x) = tanx es creciente entre los valores de x para los cuales hay dos asíntotas consecutivas. Así, la función es creciente en los conjuntos {x ∈ R |  − (π)/(2) < x < (π)/(2)}, {x ∈ ℝ | (π)/(2) < x < (3)/(2)π}, {x ∈ ℝ | (3)/(2)π < x < 2π}, etc. Por esta razón, esta función no tiene valores máximos ni mínimos.
  7. Los ceros de la función tangente se presentan en los valores de x de la forma x = nπ, con n ∈ ℤ.
  8. La función es 1-1 o inyectiva.
La gráfica de la función se muestra en la figura 1.43↓.
figure Imagenes/Grafica_36.png
Figure 1.43 f(x) = tanx
figure Imagenes/Grafica_35.png
Figure 1.44 Período y Rango de la función Tangente.
1.5.3.3.4 Función Cotangente
Esta función denotada por f(x) = cotx, tiene las siguientes características:
  1. La función f(x) = cotx no está definida para los valores de x de la forma x = nπ, n ∈ ℤ. En dichos valores la función tiene asíntotas verticales, ya que cuando x se aproxima por la izquierda a ellos, se observa que la función disminuye indefinidamente, y cuando x se aproxima por la derecha a tales valores, la función aumenta indefinidamente.
  2. El dominio de la función f(x) = cotx es dado por: Df = x ∈ ℝ − {nπ}, con n impar.
  3. El rango de la función es el conjunto de los ℝ. Rf = y ∈ ℝ.
  4. La función f(x) = cotx es periódica, de período π, por lo tanto,
    cotx = cot(x + nπ),  n ∈ ℤ
  5. f(x) = cotx es impar, ya que cot( − x) =  − cotx; por esto cotangente es simétrica con respecto al origen.
  6. La función f(x) = cotx es decreciente entre los valores de x para los cuales hay dos asíntotas consecutivas. Así, la función es decreciente en los conjuntos. {x ∈ ℝ | 0 < x < π}, {x ∈ ℝ | π < x < 2π}, etc. Por esta razón , la función no tiene valores mínimos ni máximos.
  7. Los ceros de la función Cotangente se presentan en los múltiplos impares de (π)/(2), es decir, los valores de x, de la forma x = (nπ)/(2), con n entero impar.
  8. La función Cotangente es 1-1 o inyectiva.
La gráfica de la función se muestra en la figura 1.45↓.
figure Imagenes/Grafica_39.png
Figure 1.45 f(x) = cotx
figure Imagenes/Grafica_40.png
Figure 1.46 Período y Rango de la función Cotangente.
1.5.3.3.5 Función Secante
Esta función denotada por f(x) = secx, tiene las siguientes características:
  1. La función f(x) = secx no está definida para los valores de x de la forma x = (nπ)/(2) con n entero par. En dichos valores de x, la función tiene asíntotas verticales.
  2. El dominio de la función f(x) = secx es dado por
    Df:{x ∈ ℝ∣x ≠ (nπ)/(2),   n entero impar}
  3. El rango es dado por Rf:{y ∈ ℝ∣y ≥ 1}{y ∈ ℝ∣y ≤  − 1}.
  4. La función secante es periódica de período 2π, por esta razón, secx = sec(x + 2πn),  n ∈ ℤ
  5. f(x) = secx es par, ya que sec( − x) =  − secx, por esto, la función es simétrica con respecto al eje Y.
  6. f(x) = secx es creciente cuando la función Coseno es decreciente; y decreciente cuando Coseno es creciente.
  7. La función Secante nunca intersecta al eje X.
La gráfica de la función se muestra en la figura 1.47↓.
figure Imagenes/Grafica_42.png
Figure 1.47 f(x) = secx
figure Imagenes/Grafica_43.png
Figure 1.48 Período y Rango de la función secante.
1.5.3.3.6 Función Cosecante
Esta función denotada por f(x) = cscx, tiene las siguientes características:
  1. f(x) = cscx no está definida para los valores de x de la forma x = nπ con n ∈ ℤ. En estos valores de x, la función tiene asíntotas verticales.
  2. Df = {x ∈ ℝ∣x ≠ nπ}, n ∈ ℤ
  3. Rf = {y ∈ ℝ∣y ≥ 1}{y ∈ ℝ∣y ≤  − 1}.
  4. La función Cosecante es periódica de período 2π, por esto cscx = csc(x + 2nπ), n ∈ ℤ.
  5. f(x) = cscx es impar, ya que csc( − x) =  − cscx, por esto, la función es simétrica con respecto al origen.
  6. La función y = cscx es creciente cuando f(x) = sinx es decreciente, y es decreciente cuando f(x) = sinx es creciente.
  7. Cosecante no tiene valores máximos ni mínimos y nunca intersecta al eje X.
  8. f(x) = cscx nunca intersecta al eje X, por esto no hay ceros de la función.
La gráfica de la función se muestra en la figura 1.49↓.
figure Imagenes/Grafica_46.png
Figure 1.49 f(x) = cscx
figure Imagenes/Grafica_45.png
Figure 1.50 Período y Rango de la función cosecante.


A continuación se listan valores de las seis funciones trigonométricas, para un gran número de ángulos, los cuales varían de 0° − 360°: cambiar desde aqui
Ángulo α en grados Ángulo α en radianes Sen α Cos α Tan α
0 0 1 0
15° (π)/(12) (1)/(4)((6) − (2)) (1)/(4)((6) + (2)) 2 − (3)
30° (π)/(6) (1)/(2) (1)/(2)(3) (1)/(3)(3)
45° (π)/(4) (1)/(2)(2) (1)/(2)(2) 1
60° (π)/(3) (1)/(2)(3) (1)/(2) (3)
75° (5)/(12)π (1)/(4)((6) + (2)) (1)/(4)((6) − (2)) 2 + (3)
90° (π)/(2) 1 0 ±∞
105° (7)/(12)π (1)/(4)((6) + (2))  − (1)/(4)((6) − (2))  − (2 + (3))
120° (2)/(3)π (1)/(2)(3)  − (1)/(2)  − (3)
135° (3)/(4)π (1)/(2)(2)  − (1)/(2)(2) -1
150° (5)/(6)π (1)/(2)  − (1)/(2)(3)  − (1)/(3)(3)
165° (11)/(12)π (1)/(4)((6) − (2))  − (1)/(4)((6) + (2))  − (2 − (3))
180° π 0 -1 0
195° (13)/(12)π  − (1)/(4)((6) − (2))  − (1)/(4)((6) + (2)) 2 − (3)
210° (7)/(6)π  − (1)/(2)  − (1)/(2)(3) (1)/(3)(3)
225° (5)/(4)π  − (1)/(2)(2)  − (1)/(2)(2) 1
240° (4)/(3)π  − (1)/(2)(3)  − (1)/(2) (3)
255° (17)/(12)π  − (1)/(4)((6) + (2))  − (1)/(4)((6) − (2)) 2 + (3)
270° (3)/(2)π -1 0 ±∞
285° (19)/(12)π  − (1)/(4)((6) + (2))  − (1)/(4)((6) − (2))  − (2 + (3))
300° (5)/(3)π  − (1)/(2)(3) (1)/(2)  − (3)
315° (7)/(4)π  − (1)/(2)(2) (1)/(2)(2) -1
330° (11)/(6)π  − (1)/(2) (1)/(2)(3)  − (1)/(3)(3)
345° (23)/(12)π  − (1)/(4)((6) − (2)) (1)/(4)((6) + (2))  − (2 − (3))
360° 2π 0 1 0


Ángulo α en grados Ángulo α en radianes Cot α Sec α Csc α
0 1
15° (π)/(12) 2 + (3) (6) − (2) (6) + (2)
30° (π)/(6) (3) (2)/(3)(3) 2
45° (π)/(4) 1 (2) (2)
60° (π)/(3) (1)/(3)(3) 2 (2)/(3)(3)
75° (5)/(12)π 2 − (3) (6) + (2) (6) − (2)
90° (π)/(2) 0 ±∞ 1
105° (7)/(12)π  − (2 − (3))  − ((6) + (2)) (6) − (2)
120° (2)/(3)π  − (1)/(3)(3) -2 (2)/(3)(3)
135° (3)/(4)π -1  − (2) (2)
150° (5)/(6)π  − (3)  − (2)/(3)(3) 2
165° (11)/(12)π  − (2 + (3))  − ((6) − (2)) (6) + (2)
180° π ±∞ -1 ±∞
195° (13)/(12)π 2 + (3)  − ((6) − (2))  − ((6) + (2))
210° (7)/(6)π (3)  − (2)/(3)(3) -2
225° (5)/(4)π 1  − (2)  − (2)
240° (4)/(3)π (1)/(3)(3) -2  − (2)/(3)(3)
255° (17)/(12)π 2 − (3)  − ((6) + (2))  − ((6) − (2))
270° (3)/(2)π 0 ±∞ -1
285° (19)/(12)π  − (2 − (3)) (6) + (2)  − ((6) − (2))
300° (5)/(3)π  − (1)/(3)(3) 2  − (2)/(3)(3)
315° (7)/(4)π -1 (2)  − (2)
330° (11)/(6)π  − (3) (2)/(3)(3) -2
345° (23)/(12)π  − (2 + (3)) (6) − (2)  − ((6) + (2))
360° 2π ±∞ 1 ±∞

1.5.3.4 Función Racional

Es una función de la forma:
f(x) = (P(x))/(Q(x)),  Q(x) ≠ 0, donde P(x) y Q(x) son polinomios.
.
El dominio de esta y cualquier otra función racional es dado por:
Df: {x ∈ ℝ − Q(x) ≠ 0}
por eso en este ejemplo y todos los de una función racional, se debe excluir de su dominio los valores para los cuales el denominador es cero, así:
Df:{ x ∈ ℝ∣x ≠ 0}
y el rango está dado por:
Rf: {y ∈ ℝ∣y ≠ 0}
La curva se muestra en la figura 1.51↓ y la gráfica es una curva llamada Hipérbola Equilátera.
figure Imagenes/Grafica_49.png
Figure 1.51 f(x) = (k)/(x)
1.5.3.4.1 Raíz o cero de una función Racional
Son los valores de x para los cuales la función es cero, esto es, P(x) = 0.
Así, si f(a) = 0, entonces a es una raíz [A]  [A] Se debe tener presente que para una expresión racional (a)/(b) se cumple que: (a)/(b) = 0  ⇔  a = 0 y (a)/(b) no está definida si y sólo si b = 0 de la función f, tal como se indicó en las funciones polinómicas.
Asíntota: Es una recta vertical u horizontal que nunca es cortada por la gráfica de una función, se encuentra en aquellos valores que hacen cero el denominador Q(x) de una función, y que no hacen cero el numerador de la misma. Por ejemplo, la recta x = 0 es una asíntota vertical para f(x) = (k)/(x), y la recta y = 0 es una asíntota horizontal para la misma función.
A continuación se presentan tres ejemplos de funciones racionales.
figure Imagenes/Grafica_50.png
Figure 1.52 \strikeout off\uuline off\uwave offf(x) = ((x − 2)(x + 4))/((x + 4))\uuline default\uwave default
1.5.3.4.2 Características
Si una función racional tiene r raíces de multiplicidad k, entonces:
  1. La gráfica cruza el eje X si k es impar.
  2. La gráfica no cruza el eje X si k es par.
Así, f tiene una raíz en x =  − 1 y asíntota en x = 1.
El dominio es dado por: Df = x ∈ ℝ − {1}. Como f(0) = (1)/( − 1) =  − 1 , entonces f corta el eje Y en -1.
Finalmente, para valores muy grande de x, la función tiende a 1, así la curva tiene una asíntota horizontal en y = 1. La curva se muestra en la figura 1.53↓
figure Imagenes/Grafica_51.png
Figure 1.53 f(x) = (x + 1)/(x − 1)
Asíntota vértical en x = 2, ya que f no está definida en este valor de x
Raíz en: x =  − 3 , de multiplicidad par por lo tanto no cruza el eje x, x = 1 es un cero de multiplicidad impar, por lo tanto la curva cruza el eje X.
Corte en el eje Y: f(0) = (9( − 1))/( − 2) = (9)/(2). Para valores muy grandes de x la función crece indefinidamente, por esto no hay asíntotas horizontales. La curva se muestra en la figura 1.54↓
figure Imagenes/Grafica_52.png
Figure 1.54 f(x) = ((x + 3)2(x − 1))/(x − 2)

1.5.3.5 Función Radical

Es una función de la forma: f(x) = (ax)(1)/(n), como por ejemplo:
Como f(0) = 0, el corte con el eje Y está en (0, 0). La curva se muestra en la figura 1.55↓.
figure Imagenes/Grafica_53.png
Figure 1.55 f(x) = (x)
figure Imagenes/Grafica_54.png
Figure 1.56 f(x) = 3(x)

1.6 Función Compuesta

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta es una operación entre funciones denotada por f(g(x)) o fog(x),  la cual, no es más que la evaluación de la función f en la función g y el dominio de fog(x) es el conjunto de todos los números x del dominio de g tales que g(x) están en el dominio de f, ver figura 1.57↓.
figure Imagenes/Grafica_70.png
Figure 1.57 función compuesta.
A continuación se ilustra como se calcula la composición de dos funciones.
Nota:
Con esto se muestra que (fog)(x) ≠ (gof)(x), es decir, la composición de dos funciones no cumple la propiedad conmutativa.
Nota:
figure Imagenes/Grafica_71.png
Figure 1.58 Función Compuesta

1.7 Función Inversa

La función inversa de una función f que es inyectiva, denotada por f − 1, es un función tal que
fof − 1(x) = x = fo − 1f(x).
figure Imagenes/Grafica_75.png
Figure 1.59 función f y su inversa f − 1
Nota: No todas las funciones tienen inversa, por que no son inyectivas como f(x) = x2, no obstante, muchas veces se restringe el dominio de una función para que esta sea inyectiva y así, puede tener inversa, como por ejemplo f(x) = x2, x ≥ 0.
El proceso de encontrar la inversa de una función, se ilustra en los siguientes ejemplos.
Seguidamente, se da el procedimiento para encontrar la inversa de una función.
Para comprobar que la función dada, se hace la composición de las dos funciones, la cual debe dar como resultado la función identidad:
ff − 1(x) = x y f − 1f = x
De acuerdo a lo anterior tenemos:
(fof − 1)(x)  =  3((x − 5)/(3)) + 5  =  x − 5 + 5  =  x
Se concluye entonces que f − 1(x) = (x − 5)/(3) es la inversa de f(x) = 3x + 5.
Gráficamente, la inversa de una función f se obtiene reflejando la gráfica de la función con respecto a la de la función identidad f(x) = x, como se ilustra en la figura 1.60↓.
figure Imagenes/Grafica_76.png
Figure 1.60 f(x) = 3x + 5 y f − 1(x) = (x − 5)/(3)
Verificando que la funcion encontrada es la inversa de la función dada, tenemos:
f − 1(f(x))  =  3(((3x3 − 7) + 7)/(3))  =  3((3x3)/(3))  =  3(x3)  =  x
o también,
fof − 1(x)  =  3((3(x + 7))/(3))3 − 7  =  3((x + 7)/(3)) − 7  =  x + 7 − 7  =  x

Las gráficas de la función y su inversa se muestran en la figura 1.61↓.
figure Imagenes/Grafica_77.png
Figure 1.61 f(x) = 3x3 − 7 y su inversa f − 1(x) = 3((x + 7)/(3))
Determine el dominio, y el rango, grafique las siguientes funciones.
  1. Sgn(x) =   − 1,   x < 0        0,   x = 0        1,   x > 0 
  2. f(x) = (x2 − 2x)/(x − 2)
  3. f(x) =  x + 2,   x ≤  − 4        (16 − x2),    − 4 < x < 4        12 − x,   4 ≤ x
  4. f(x) = (2x)/(x − 1) → x ≠ 1
  5. f(x) =  − (1)/((x − 3)2)
Solución.
  1. Sgn(x) =   − 1,   x < 0        0,   x = 0        1,   x > 0  , en este caso Df:ℝ y Rf: y ∈ { − 1, 0, 1}. La curva se muestra en la figura 1.62↓.
    figure Imagenes/Grafica_78.png
    Figure 1.62 Función del ejercicio 1
  2. f(x) = (x2 − 2x)/(x − 2). = (x(x − 2))/(x − 2), x ≠ 2.
    Como (x2 − 2x)/(x − 2) = (x(x − 2))/(x − 2) = x, x =  − 2 Df, así Df: R − {2} = Rf. No hay asíntota en x = 2 porque en el numerador hay un factor igual a (x − 2). La curva se muestra en la figura 1.63↓.
    figure Imagenes/Grafica_79.png
    Figure 1.63 Funcion del ejercicio 2
  3. f(x) =  x + 2,   x ≤  − 4        (16 − x2),    − 4 < x < 4        12 − x,   4 ≤ x . En este caso Df: ℝ y Rf: ( − ∞, 8]. La curva se muestra en la figura 1.64↓.
    figure Imagenes/Grafica_80.png
    Figure 1.64 Función del ejercicio 3
  4. f(x) = (2x)/(x − 1) → x ≠ 1. Esta función tiene asíntota en x = 1, cero o raíz en x = 0. El dominio y el rango están dados por: Df: R − {1} y Rf: ℝ − {2}
    Cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a 2, asi tiene asíntotas horizontales en y = 2.
    figure Imagenes/Grafica_81.png
    Figure 1.65 Función del ejercicio 4
  5. f(x) =  − (1)/((x − 3)2). La curva tiene asíntota vertical en x = 3, corte con el eje Y: f(0) =  − (1)/(9) (0,  − (1)/(9)), asíntota horizontal en y = 0; no toma valores positivos por que f(x) =  − (1)/((x − 3)2) < 0, x
    figure Imagenes/Grafica_82.png
    Figure 1.66 Función del ejericicio 5

1.8 Criterios de Graficación: Traslación, Reflexión, Comprensión, Alargamiento y Desfase

Dada la gráfica de una función f, se puede obtener la gráfica de una función función similar por traslaciones hechas a f, como se ilustra a continuación.

1.8.1 Traslación Vertical y Horizontal

Dada una función arbitraria: y = f(x), se puede obtener a partir de ella, las siguientes funciones:
y = f(x) + C,  la curva sube cunidades (c > 0)
y = f(x) − C,  la curva baja cunidades (c < 0)
y = f(x − C),  la curva se traslada a izquierda si c < 0o la derecha si c > 0

Lo anterior, se ilustra en las figuras 1.67↓ y .
figure Imagenes/Grafica_58.png
Figure 1.67 Traslación horizontal y vertical
figure Imagenes/Grafica_59.png
Figure 1.68 y = f(x − c) + c
Dada f(x) = x2 de color negro, hallar curvas de:
figure Imagenes/Grafica_62.png
Figure 1.69 Traslaciones verticales y horizontales de la función f(x) = x2.
figure Imagenes/Grafica_61.png
Figure 1.70 Traslaciones verticales y horizontales de la función f(x) = x2.
f(x) = x2 + 4x + 3  =  (x2 + 4x + 4) − 1  =  (x + 2)2 − 1
así su curva es la que se muestra en la figura 1.71↓
figure Imagenes/Grafica_63.png
Figure 1.71 Traslaciones verticales y horizontales de la función f(x) = x2.

1.8.2 Compresión y Alargamiento

La gráfica de f(x) = ax2 es similar a la gráfica de f(x) = x2, solo que:
  1. Si a > 1 crece más rápidamente que la original, esto es, f(x) = ax2 es alargadamente verticalmente.
  2. Si 0 < a < 1 la curva crece menos rápido, que la curva inicial esto es f(x) = ax2 se ve comprimida con respecto a f(x) = x2
figure Imagenes/Grafica_63a.png
Figure 1.72 f(x) = ax2
figure Imagenes/Grafica_64.png
Figure 1.73 f(x) = sinx y f(x) = 2sinx.
En general, para f(x) = Asin(wx) o f(x) = Acos(wx), se definen:
A=amplitud y período T = (2π)/(w), w > 0.
Para la función f(x) = 3sin(2x) + 5:
se tiene que A = 3 y T = (2π)/(2) = π.
Lo anterior indica que el período ya no es 2π, sino π, y que el mínimo y máximo valor ya no es  − 1 y 1, si no 2 y 8, respectivamente. La figura 1.74↓ muestra a curva de f(x) = senx y la función modificada.
figure Imagenes/Grafica_65.png
Figure 1.74 f(x) = 3 sen(2x) + 5
Para las funciones periódicas trigonométricas de período π, en los desplazamientos, como es el caso de las funciones tangente y cotangente se tiene que el período es:
T = (π)/(w)

1.8.3 Reflexión

Dada la gráfica de y = f(x), la gráfica de y =  − f(x) se puede obtener reflejando la curva con respecto al eje X, como se ilustra en la figura 1.75↓.
figure Imagenes/Grafica_66.png
Figure 1.75 Reflejada de la función y = f(x).

1.8.4 Desfazamiento o desfase

f(x) = Asin(wx − φ),  A, w, φ ∈ ℝ, w > 0.
donde φ: desplazamiento. Para saber el punto por donde la curva corta al eje X, se tiene:
Si y  =  0 ⇒ Asin(wx − φ) = 0 sin(wx − φ)  =  0 wx − φ  =  0,   si y sólo si x  =  (φ)/(w)
Así, por el punto ((φ)/(w), 0) pasa la curva de la gráfica de la función.
Si φ > 0, entonces (φ)/(w) es un desplazamiento a derecha.
Si φ < 0, entonces (φ)/(w) es un desplazamiento a izquierda.
Lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos.

1.9 Ejercicios

  1. Determine si son o no funciones las siguientes relaciones
    1. x2 − y2 − 1 = 0
    2. x − y + 3 = 0
    3. x2 − y − 5 = 0
    4. 8x + 3y2 − 1 = 0
    5. x2 + y2 − 5 = 0
    6. (x2 − 4) = y
  2. Evalúe las funciones dadas, en el valor que se indica, o indique que no es posible
    1. f(x) = 3x + 5; x = a
    2. f(x) = x2 − 4x + 1; x = 0
    3. h(t) = (1)/(t − 2); t = 2
    4. g(s) = s2 − 7s; s = 1
    5. g(x) = (1)/(x); x = x + h
    6. f(t) = (1)/(t2 + 2t + 1) − (1)/(t); t = 2
  3. Para las funciones dadas en 2a, 2b y 2c encuentre
    (f(x + h) − f(x))/(h) y (f(t + h) − f(t))/(h)
  4. Encuentre el dominio de las siguientes funciones
    1. y = (x2 + 5x − 4)
    2. y = 3(x2 − 5x)
    3. y = 4(x3 − x + 3)
    4. y = 3(x3 + x2 − 7)
    5. y = (x2 + 1)/(x2 − 1)
    6. y = (x)/((x2 − 2))
    7. f(x) = ((x + 1))/(x + 1)
    8. f(x) = |(x)/(2) − 1| + 2
    9. h(x) =  − 3cos(x − (π)/(2)) − 3
  5. Determine si son pares, impares o ninguna de las dos, las siguientes funciones
    1. f(x) = x2 + 2x + 1
    2. g(t) = t2 − 2
    3. h(x) = x3 − 3x + 1
    4. g(x) = sinx
    5. f(x) = (1)/(x)
    6. f(x) =  − (1)/(x2)
  6. Indique si las siguientes funciones son inyectivas o no
    1. f(x) = (1)/(x − 1)
    2. g(t) = sint
    3. h(t) = (t2 + 2t − 1)
    4. f(x) = x3 + 3x2 − 2
    5. f(x) = (x2 − 4)/(x − 2)
    6. g(x) = (1 + x)/(1 − x)
  7. Dadas las funciones f y g como se definen, encuentre el dominio de las funciones: f±g, fg, (g)/(f), (f)/(g), g±f y (3f − 2g), para las funciones f(x) = 3x2 + 2x − 1 y g(x) = x2 − 2x
  8. Para las funciones dadas en el ejercicio 4, que sean inyectivas, encuentre la función inversa respectiva. También, compruebe el resultado haciendo la composición, esto es
    (ff − 1)(x) = x = (f − 1f)(x)
  9. Haga el bosquejo de la gráfica de:
    1. f(x) = 3sin(2x − θ)
    2. f(θ) = cosθ − 1
    3. f(t) = (1)/(2)cos(t − θ)
    4. f(x) =  − (sinx)/(2)
  10. Encontrar los ceros, asíntotas horizontales y verticales, si existen, de las funciones:
    1. f(x) =  (4 − x2) ,  x ≤ 2        |1 − x| ,  2 < x < 4         − x2 + 19  ,  x ≥ 4 
    2. f(x) = (4 − x2)/(x2 − x − 6)
    3. g(x) = 1 − x + x2. Hallar vértice, eje de simetría y llevarla a la forma f(x) = a(x − h)2 + k
  11. Para la gráfica dada, determine: dominio, rango, si es par o impar, ceros de la función y su respectivo grado (par o impar), cortes con los ejes y asíntotas horizontales y verticales.
    figure Imagenes/Grafica_139.png
  12. Gráficar las funciones:
    1. f(x) = |x2 − 4x + 3|
    2. f(x) = 1 + sin(πx)/(2)
    3. f(x) =  x + 6  ,  x ≤  − 4        (16 − x2) ,   − 4 < x < 4        (x − 4)2 + 2  ,  x > 4 
  13. Escribe la función que corresponde a:
    1. La gráfica de y = sinx estirada hacia arriba por un factor de 5, con período π y desplazada (π)/(2) unidades hacia la derecha.
    2. La función parte entera de (x)/(2)

2 Límites

2.1 Límites

El estudio de límites requiere en cualquier estudiante el manejo del álgebra, toda vez que para resolver un gran número de ejercicios de límites se requieren de la manipulación algebraica o trigonométrica de las expresiones involucradas.
Se empieza con la idea intuitiva de límite de una función, luego se trabaja con la definición rigurosa del mismo, seguido de los límites infinitos y al infinito, y finalmente, la presencia de asíntotas de una función y su relación con los límites.
En esta unidad cada estudiante puede poner a prueba sus conocimientos en los temas aquí tratados, con el link: http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/límites/.
A continuación se ilustra la idea intuitiva del límite de una función en un valor cualquiera de su variable independiente, con ayuda de una tabla de valores.
Posteriormente, se trabajará la idea intuitiva con procesos algebraicos y finalmente, se estudiará la definición rigurosa del límite.
  1. Dada la función
    f(x) = (x2 − 4)/(x + 2)
    ¿a qué valor tiende ella cuando x está muy cerca a tomar el valor de -2?. La tabla 2.1↓, ilustra lo que sucede en la función dada.
    x f(x)
    -2,1 -4,1
    -2,01 -4,01
    -2,001 -4,001
    -2 No definida
    -1,999 -3,999
    -1,99 -3,99
    -1,9 -3,9
    Table 2.1 Tabla 1
    Note que la función tiende a  − 4, cuando x tiende a  − 2 por izquierda y por derecha, aunque la función no está definida en x =  − 2.
    figure Imagenes/Grafica_83.png
    Figure 2.1 f(x) = (x2 − 4)/(x + 2)
  2. f(x) = x2 + 5x ¿Qué pasa con la función cuando x tiende a 0? La tabla 2.2↓, nos muestra el comportamiento de la función.
    x f(x)
    -0,1 -0,49
    -0,01 -0,0501
    -0,001 -0,005001
    0 0
    0,001 0,005001
    0,01 0,0501
    0,1 0,49
    Table 2.2 Tabla 2
    Se observa que la función tiende a cero, tanto por izquierda como por derecha.
    figure Imagenes/Grafica_84.png
    Figure 2.2 f(x) = x2 + 5x
  3. Dada la función f(x) = (1)/(x2), ¿Cuándo x tiende a cero, qué pasa con la función? La tabla 2.3↓ ilustra lo que sucede en este caso.
    x f(x)
    -0,1 100
    -0,01 10000
    -0,001 1000000
    0 No definida
    0,001 1000000
    0,01 10000
    0,1 100
    Table 2.3 Tabla 3
    La tabla de valores muestra que la función dada no tiende a un valor, sino que crece indefinidamente.
    En los ejemplos 1 y 2, se puede decir que la función tiende a un único valor cuando la variable independiente tiende a un valor específico, esto se denota con la siguiente expresión:
    limx → af(x) = L.
    figure Imagenes/Grafica_85.png
    Figure 2.3 f(x) = (1)/(x2).

2.1.1 Definición intuitiva

La expresión limx → af(x) = L, significa que cuando la x está muy próxima (por izquierda y por derecha) al valor “a”, la función está muy próxima a valer L, esto es:
limx → af(x) = L

La notación para ejemplos dados queda de la siguiente manera:
  1. limx →  − 2(x2 − 4)/(x + 2) =  − 4. Esto significa que el límite existe y es -4.
  2. limx → 0x2 + 5x = 0. Esto significa que el límite existe y es 0.
  3. limx → 0(1)/(x2). En este caso como la función no tiende a un único valor, el límite no existe.
En lo que se sigue de este texto, se indicará (como se tiene establecido en toda literatura) que los límites laterales se denotan de la siguiente manera: limx → a − f(x): Límite de la función f, cuando x tiende a a por izquierda.
limx → a + f(x) : Límite de la función f, cuando x tiende a a por derecha.
¿Pero cómo evaluar límites sin ayuda de tabla de valores. ¿De qué otra forma se puede encontrar el valor de -4, en el ejemplo 1, el valor de cero en el ejemplo 2?.
Note que en el primer caso se puede factorizar y luego simplificar y después sustituir; en el segundo caso, se sustituye directamente. A continuación, se trabajaran límites utilizando procedimientos algebraicos (factorizar, racionalizar, completar cuadrados, etc).
A continuación se resuelven algunos límites.

2.1.2 límites Trigonométricos Especiales

Los siguientes límites, son considereados especiales en el estudio del cálculo.
  1. limt → 0(sint)/(t) = 1
  2. limt → 0(1 − cost)/(t) = 0

Para el primero se tiene la siguiente prueba empírica; basada en la tabla de valores (en radianes del águlo t).
t f(t)
0,1 0,99
0,01 0,999
0,001 0,9999
0 no definida
Table 2.4 Tabla 3
Así, se concluye intuitivamente que: limt → 0(sint)/(t) = 1
Ejemplo.
Solución.
Notemos que este límite presenta una forma indeterminada (0)/(0), esto es,
limx → 0(sin3x)/(3x) = fi = (0)/(0)
como (sin3x)/(x) = (3sin3x)/(3x), entonces
limx → 0(sin3x)/(x)  =  limx → 0(3sin3x)/(3x)  =  (limx → 03)(limx → 0(sin3x)/(3x)) propiedad de los límites  =  (3)(1)  =  3
Por abuso en la notación, el límite anterior es cuando el ángulo y el denominador son 3x, esto es justificado en el hecho de que si x → 0, entonces, 3x → 0 , así lim3x → 0(sin3x)/(3x) = 1
Note que limx → 1(sin(1 − x))/((x) − 1)f.i (0)/(0), entonces:
limx → 1(sin(1 − x))/((x) − 1)  =  limx → 1(sin(1 − x))/((x) − 1)(((x) + 1)/((x) + 1))  , Racionalizando  =  limx → 1(((x) + 1)sin(1 − x))/(x − 1)  , simplificando  =  limx → 1(((x) + 1)sin(1 − x))/( − (1 − x)) , factorizando el signo  =  (limx → 1(x) + 1)( − limx → 1(sin(1 − x))/(1 − x)) , propiedades de los límites  =  (2)( − 1)  =   − 2
Note la forma del límite especial si x → 1, entonces 1 − x tiende a cero, así:
limx → 1(sin(1 − x))/((x) − 1) = lim1 − x → 0(((x) + 1)sin(1 − x))/( − (1 − x)) =  − 2
Ahora, tiene la forma de un límite trigonométrico especial porque la expresión del ángulo es igual al denominador y la misma variable tendiendo a cero.

2.1.3 Propiedades de los límites

Consideremos dos funciones f y g, tales que: limx → af(x) = L , limx → ag(x) = M, y K ∈ ℝ
Entonces se satisfacen:
Ejemplo:
limx → 15 = 5  y limx → 105 = 5.
figure Imagenes/Grafica_92.png
Figure 2.9 f(x) = 5
Ejemplo:
limx → 15x = 5  entonces, 5limx → 1x = 5(1) = 5.

figure Imagenes/Grafica_93.png
Figure 2.10 Gráfica del ejemplo b
Ejemplo:
Evaluar los siguientes límites.
  1. El siguiente ejemplo muestra el uso de las propiedades al evaluar límites, no obstante, cuando calcula el valor de un límite se omiten muchas de estas propiedades.
    limx → (π)/(2)(1 − sinx)/(2 + cosx) = (limx → (π)/(2)(1 − sinx))/(limx → (π)/(2)(2 + cosx)) = (limx → (π)/(2)(1) − limx → (π)/(2)sinx)/(limx → (π)/(2)(2) + limx → (π)/(2)cosx) = (1 − 1)/(2 − 0) = 0
  2. El siguiente ejemplo muestra como se evalúa un límite sin detallar las propiedades de los mismos
    limx → 1(5x − 6) =  − 1
  3. limx → 1f(x) y limx →  − 1f(x), si
    f(x) =  1,   x <  − 1        x2,    − 1 ≤ x < 1        2,   x ≥ 1 
limx →  − 1 + x2 = 1     limx →  − 1 − 1 = 1 

Como los límites laterales existen y son iguales entonces el límite inicial existe.
limx → 1 + 2 = 2     limx → 1 − x2 = 1  }Los límites laterales son diferentes entonces,
figure Imagenes/Grafica_94.png
Figure 2.11 Función del ejemplo 3
Ejercicio.
figure Imagenes/Grafica_95.png
Figure 2.12 Ejercicio
Nota: No existe un límite cuando hay una asíntota vertical.

2.1.4 Definición rigurosa de límite

Decir que: limx → af(x) = L, significa que:
limx → af(x) = L
ε > 0, un δ > 0, tal que si 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
figure Imagenes/Grafica_96.png
Figure 2.13 Definición de Límite
Ejemplo:
Demostrar por definición de límite que:
Prueba:
ε > 0, ∃δ > 0, tal que si 0 < |x − 2| < δ ⇒ |(3x − 2) − 4| < ε
Así,
|(3x − 2) − 4| = |3x − 6| = |3(x − 2)| = 3|x − 2|

 = 3|x − 2| < ε = |x − 2| < (ε)/(3)
Así, tomando δ = (ε)/(3), resultado ε = 3δ.
Entonces si ε > 0, ∃δ <  = (ε)/(3) tal que 0 < |x − 2| < (ε)/(3) ⇒ |x − 2| < (3δ)/(3) se tiene que:
|x − 2| < δ
ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si 0 < |x − 0| < δ o 0 < |x| < δ
 ⇒ |(2x − 1) − ( − 1)| < ε , simplificando
 ⇒ |2x| < ε
 ⇒ 2|x| < ε , propiedades del valor absoluto
 ⇒ |x| < (ε)/(2) → δ = (ϵ)/(2)
ε = 2δ
ε > 0, ∃δ = (ε)/(2) tal que si 0 < |x − 0| < (ε)/(2)
 ⇒  |(2x − 1) − ( − 1)| < ε  ⇒  |2x| < 2δ  ⇒  2|x| < 2δ ⇒ |x| < (2δ)/(2) ⇒ |x| < δ

2.1.5 Límites Infinitos y al Infinito

Consideremos la gráfica de f(x) = (1)/(x2 + 1),  observemos que cuando x crece ilimitadamente, la función tiende a cero, esto es,limx → ∞(1)/(x2 + 1) = 0.
figure Imagenes/Grafica_97.png
Figure 2.14 f(x) = (1)/(x2 + 1)
Note que para esta función la recta y = 0 es una asíntota horizontal
Sea f una función definida en [c, ∞) para un c ∈ ℝ, entonces si
limx → ∞f(x) = 1
Significa:
ε > 0, M ∈ ℝ tal que si x > M entonces |f(x) − 1| < ε.
Evaluar los siguientes límites:
figure Imagenes/Grafica_98.png
Figure 2.15 f(x) = (1)/(x)
 = limx → ∞(3 − (15)/(x) − (3)/(x4))/( − (1)/(x2) + (2)/(x4))
 = (3 − 0 − 0)/(0 + 0)  No existe, el límite
 = (1 − 0)/(0 + 0)  No existe, el límite
Propiedades de los Límites al Infinito de Funciones Racionales
Sea f(x) = (p(x))/(q(x)), una función racional, entonces limx → ∞(p(x))/(q(x)):

2.1.5.1 Asíntotas Horizontales

Si limx → ∞f(x) = L o limx →  − ∞f(x), entonces, la recta y = L es una asíntota horizontal a la curva de la función f.
En el ejemplo h, la recta y=0 es una asíntota horizontal a la curva de la función f(x) = (x − 1)/(1 + x2 + x3)
límites Infinitos
Note que los siguientes límites no existen.

2.1.5.2 Asíntotas Verticales

Si limx → cf(x) = ±∞ , entonces x = c es una asíntota vertical a la curva de la función.
En el ejemplo c, x = 0 y x = 4 son asíntotas verticales para las funciones correspondientes.
Evaluar los siguientes límites.
  1. limx → ∞((x2 + 2x + 3) − (x2 − 2x + 3)):fi ∞ − ∞
    Manipulando la función, se tiene:
    ((x2 + 2x + 3) − (x2 − 2x + 3)) × (((x2 + 2x + 3) + (x2 − 2x + 3)))/(((x2 + 2x + 3) + (x2 − 2x + 3)))
    \strikeout off\uuline off\uwave offmultiplicando por el conjugado.\uuline default\uwave default
     = ((x2 + 2x + 3) − (x2 − 2x + 3))/((x2 + 2x + 3) + (x2 − 2x + 3))

     = (4x)/((x2 + 2x + 3) + (x2 − 2x + 3)),   así

     =  limx → ∞((x2 + 2x + 3) − (x2 − 2x + 3))  =  limx → ∞(4x)/((x2 + 2x + 3) + (x2 − 2x + 3))  =  limx → ∞((4x)/(x))/(((x2 + 2x + 3)/(x2)) + ((x2 − 2x + 3)/(x2)))

    limx → ∞ = (4)/((1 + (2)/(x) + (3)/(x2)) + (1 − (2)/(x) + (3)/(x)))

     = (4)/((1 + 0 + 0) + (1 − 0 + 0)) = 2

  2. limx → 0(|x| − x)/(x). Por definición de valor absoluto, se evalúa este límite, evalando los límites laterales así:
    limx → 0 − ( − x − x)/(x) = ( − 2x)/(x) = limx → 0 −  − 2 =  − 2

    y limx → 0 + (x − x)/(x) = (0)/(x) = limx → 0 + 0 = 0,   entonces,

    limx → 0(|x| − x)/(x) No existe, ya que los límites laterales son diferentes.
  3. limx → 2f(x), para
    f(x) =  x2 − 2x,   x < 2        1,   x = 2        x2 − 6x + 8,   x > 2 

En este caso, se requiere evaluar en los límites laterales, así:
limx → 2 − x2 − 2x = 0     limx → 2 + x2 − 6x + 8 = 0  ,   por lo tanto,
limx → 2f(x) = 0
figure Imagenes/Grafica_100.png
Figure 2.16 Función del Ejemplo 3
Nota: En el límite del ejemplo 3, note que f(2) = 1, en tanto que limx → 2f(x) = 0.
Evaluar el siguiente límite para las funciones dadas.
limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)
limh → 0((x + h)2 − x2)/(h) = (0)/(0). fi
limh → 0 = (x2 + 2xh + h2 − x2)/(h)
limh → 0(2xh + h2)/(h) = limh → 0(h(2x + h))/(h)
limh → 02x + h = 2x
limh → 0((x + h) − (x))/(h) = (0)/(0)fi
limh → 0((x + h) − (x))/(h) = limh → 0((x + h) − (x))/(h)(((x + h) + (x))/((x + h) + (x)))
limh → 0(x + h − x)/(h((x + h) + (x))) = limh → 0(h)/(h((x + h) + (x))) = limh → 0(1)/((x + h) + (x)) = (1)/(2(x))
limh → 0((1)/(x − h) − (1)/(x))/(h) = (0)/(0),  fi
limh → 0((x − (x + h))/((x + h)(x)))/(h) = limh → 0(( − h)/(x2 + xh))/(h) = limh → 0( − h)/(x2h + xh2) = limh → 0( − h)/(h(x2 + xh))
limh → 0 − (1)/(x2 + xh) =  − (1)/(x2)

2.2 Continuidad de funciones

Las siguientes figuras muestran tres curvas de funciones que tienen diferentes comportamientos en una vecindad de x = a.
figure Imagenes/Grafica_101.png
Figure 2.17 Tipos de discontinuidad
¿Qué se puede decir al componer las tres gráficas en lo relacionado con su continuidad?.

2.2.1 Definición

Una función f se dice que es continua en un valor de x = a,  si ella satisface:
Determinar si las funciones dada son o no continuas en el valor de x que se indica.
Como limx → 2(x2 − 4)/(x − 2) = 4 y f(2) no está definida, entonces, f no es continua en x = 2.
La anterior discontinuidad se llama removible porque se puede quitar redefiniendo la función de la siguiente manera:
f(x) =  (x2 − 4)/(x − 2),   x ≠ 2        4  x = 2 
figure Imagenes/Grafica_104.png
Figure 2.18 Función del ejemplo c
limx → 2f(x) =  No Existe ya que limx → 2 +  = 4     limx → 2 −  = 1  y f(2) está definida ya que f(2) = 1,  por lo tanto la función no es continua en x = 2, porque limx → 2f(x) no existe.
figure Imagenes/Grafica_105.png
Figure 2.19 Función del ejemplo d.
Para que limx → 0f(x) exista, se requiere que b = 1, ya que limx → 0 − (1)/(x2 + 1) = 1     limx → 0 + ax + b = b .
limx → 3 − (ax + b) = 3a + 1  y limx → 3 + (x − 1) = 2
Ahora, igualamos los límites latelares y tenemos:
3a + 1 = 2 → a = (1)/(3). Entonces para que limx → 3f(x) exista, se requiere que a = (1)/(3)
Luego f es continua en x = 0 y x = 3 si a = (1)/(3) y b = 1.
figure Imagenes/Grafica_106.png
Figure 2.20 Función del ejemplo e

2.2.2 Teorema del valor intermedio

figure Imagenes/Grafica_107.png
Figure 2.21 Teorema del Valor Intermedio
Sea f una función continua en [a, b] con f(a) ≠ f(b) y k es un valor comprendido entre f(a) y f(b), esto es, f(a) ≤ k ≤ f(b), entonces existe un c ∈ ℝ, tal que f(c) = k y c ∈ (a, b).
En otras palabras, este teorema establece que una función continua en [a, b] , toma por lo menos una vez, todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).
Sea,
f(x) =  x2 + 2,   x ≤ 0         − x2 + 2,   x > 0 
En [ − 1, 2], halle el valor de c para el cual k = f(c) = (5)/(2)
Primero se comprueba que sea continua en x = 0.
x = 0
limx → 0f(x) = 2,   ya que limx → 0 − x2 + 2 = 2     limx → 0 +  − x2 + 2 = 2 
Por lo tanto, f es continua en x = 0.
k = f(c) = (5)/(2)
\strikeout off\uuline off\uwave offReemplazando en el tramos izquierdo tenemos:
(5)/(2)  =  c2 + 2 c2  =  (5)/(2) − 2 c2  =  (1)/(2) c = ((1)/(2))  entonces c = ±((2))/(2)
f( − ((2))/(2))  =  ( − ((2))/(2))2 + 2  =  (2)/(4) + 2 = (5)/(2)
f(c)  =  (5)/(2) (5)/(2)  =   − c2 + 2  − c2  =  (5)/(2) − 2  − c2  =  (1)/(2)  No tiene solución.
De esta manera el valor de k =  − ((2))/(2) hace que f( − ((2))/(2)) = (5)/(2)
figure Imagenes/Grafica_108.png
Figure 2.22 Gráfico del ejemplo 2.2.2↑

2.2.3 Teorema de Bolzano

figure Imagenes/Grafica_109.png
Figure 2.23 f(a) y f(b) de signos opuestos
Sea f una función continua en [a, b] con f(a) y f(b) de signos opuestos, entonces existe por lo menos un c ∈ ℝ; c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0
En otras palabras, este teorema establece que si la función, es continua en [a, b] y la función evaluada en los valores extremos de ese intervalo tiene signos diferentes, entonces la curva debe cruzar el eje x, al menos una vez.
Sea f(x) = (1 + 2x)/(x + 3). Existe una raíz en [ − 5, 1]?
Como la función no es continua en x =  − 3, entonces no se puede garantizar la existencia de un cero o raíz en [-5,1].
Ahora ¿en [ − 1, 2] existe una raíz ? Justifique.
Por lo tanto, el número c buscado es  − (1)/(2) y f( − (1)/(2)) = (1 + 2( − (1)/(2)))/( − (1)/(2) + 3) = 0

2.2.4 Continuidad en un intervalo

Una función f es continua en el intervalo [a, b] si lo es en cada valor del intervalo (a, b) y además, sea continua en x = a por derecha y continua en x = b por izquierda.
Determinar los intervalos de continuidad de las funciones dadas.
Note que limx → 0 − (x) no existe y que limx → 0 + (x) = 0, así f(x) = (x) es continua en (0, ∞).
figure Imagenes/Grafica_110.png
Figure 2.24 f(x) = (1)/(x − 1)

2.2.5 Operaciones con funciones continuas

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b], entonces, f±g, fg son continuas en [a,b] y (f)/(g) es continua, en [a, b], excepto para aquellos valores tales que g = 0
Ejemplo:

2.2.6 Teorema de intercalación o sándwich.

Sean f, g y h tres funciones tales que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), x ∈ I, I un intervalo, excepto quizás en x = c ∈ I.
Si, limx → cf(x) = L = limx → ch(x) , entonces, limx → cg(x) = L
figure Imagenes/Grafica_111.png
Figure 2.25 Teorema de Intercalación
Muestre que limx → 0|xsin(1)/(x)| = 0, Usando el teorema del emparedado.
Como  − 1 ≤ sinα ≤ 1, entonces
0  ≤  |sinα| ≤ 1 0  ≤  |sin(1)/(x)| ≤ 1,   haciendo α = (1)/(x)
y como |xsin(1)/(x)| = |x||sin(1)/(x)| ≤ |x| entonces 0 ≤ |xsin(1)/(x)| ≤ |x| y
como limx → 0|x| = 0 = limx → 00, entonces limx → 0|xsin(1)/(x)| = 0, porque
0 ≤ |xsin(1)/(x)| ≤ |x|


2.3 Ejercicio

  1. Evalúe los siguientes límites, y establezca si existen o no.
    1. limx → 81(x − 81)/((x) − 9)
    2. limx → 2(x2 − 5x + 6)/(x2 − 12x + 20)
    3. limx → ∞(x3 − 2x2 − 1)/(2x3 − x)
    4. limx →  − 8(1 + ( − 2x))
    5. limx → 3(x2 − 9)/(x2 − 5x + 6)
    6. limx → ∞((x2 − 2) − (x2 + x))
    7. limx → 1(x4 − x5)/(1 − x)
  2. Para las funciones dadas encuentre el límite:
    limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)
    1. f(x) = x2 + 1
    2. g(t) = (1 − t)/(4t)
  3. Evalúe los siguientes límites o establezca que no existen
    1. limx → ∞((4x4 + x2 + 1))/(x2 + 1)
    2. limx → 0 xcotx
    3. limx → 0 (1)/(tsectcsct)
    4. limx → 1 − (x2 − |x − 1| − 1)/(|x − 1|)
    5. limx → π2(4sin4x − 4)/(sin2x − 1)
    6. limx → 0 (x2)/(1 − cosx)
    7. limx → π4(sinx − cosx)/(1 − tanx)
    8. limx → π4(cotx)/(cosx)
    9. limx → 0 ((1 + sinx) − (1 − sinx))/(x)
  4. Haga la gráfica de la función dada y determine el valor de x para el cual ella puede ser discontinua, además, determine si la función efectivamente, es o no discontinua en ese valor.
    g(x) =  2x si 0 ≤ x < 1        4    si x = 1        5 − 3x si 1 < x ≤ 2 
  5. Con la gráfica de la función dada, determine:
    figure Imagenes/Grafica_140.png
    Encontrar, las asíntotas verticales y horizontales para la función compuesta (fg)(x), si f(x) = (5x)/(x − 1) y g(x) = (x − 2)2. Grafique la función y diga cuales son los intervalos de continuidad.
  6. Halle los valores de m y n para que la función sea continua
    f(x) =  (x2 − 4)/(x − 2) ,  x ≠ 2        m ,  x = 2 
  7. Describa la gráfica dada, utilice conceptos matemáticos, enuncie 10 aspectos que den cuenta de: Continuidad, límites, límites laterales, al infinito e infinitos.
    figure Imagenes/Grafica_141.png

3 La Derivada

La unidad empieza con el problema de la Recta Tangente a una curva en un punto, luego sigue con la definición de derivadas, la cual se establece por medio de un límite que siempre tendrá una forma indeterminada (cero sobre cero), reglas de derivación, derivada de la función compuesta, derivadas de orden superior y derivación implícita. Al igual que en las anteriores sesiones, además de la parte teórica, se encuentra una serie de ejercicios relacionados con la temática tratada.

3.1 Problema de la recta tangente

Dada la curva siguiente, ¿Cuál será la pendiente de la recta secante si se ilustra?.
figure Imagenes/Grafica_115.png
Figure 3.1 Rectas secante y tangente
De la figura 3.1↑ se tiene que la pendiente de la recta secante S1, es dada por:
ms1 = (f(x + h) − f(x))/(h)
Note que |h| > |h1| > |h2| > ... eso implica que |h3| < |h2| < |h1| < |h|, por lo tanto |h| va tendiendo a cero y la recta secante se vuelve recta tangente, su pendiente es dada por:
mT:limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x2 + 2x + 1, en el valor de x = 1
figure Imagenes/Grafica_116.png
Figure 3.2 Gráfica del ejemplo 3.1↑
mT:limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)
mT = limh → 0((x + h)2 + 2(x + h) + 1 − x2 − 2x − 1)/(h) f.i (0)/(0)
\strikeout off\uuline off\uwave offresolviendo tenemos
 =  limh → 0(x2 + 2xh + h2 + 2x + 2h + 1 − x2 − 2x − 1)/(h)  =  limh → 0(h(2x + h + 2))/(h) = 2x + 2
Si x = 1, entonces la pendiente de la recta tangente es m(1) = 2(1) + 2 = 4.
¿Si x =  − 1, cuál es la pendiente?, mtan = 0, la pendiente es 0
Si x =  − 2, entonces m =  − 2

3.2 Derivada

La derivada de una función f es otra función denotada por f, la cual se define como:
f(x) = limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)
Siempre que el límite exista.
Nota 1: El símbolo f se lee “f prima”.
Interpretación geométrica de la derivada
La derivada nos representa la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
figure Imagenes/Grafica_117.png
Figure 3.3 Pendiente de una recta tangente.
Observe la forma indeterminada que presenta la definición de derivada de una función.
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de f(x) = x2 − 1, en el punto ((1)/(2),  − (3)/(4)).
La pendiente de la recta tangente es la derivada de la función, evaluada en x = (1)/(2), en este caso f(x) = x2 − 1.
f(x)  =  limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)  =  limh → 0((x + h)2 − 1 − (x2 − 1))/(h) = (0)/(0),  fi  =  limh → 0(x2 + 2xh + h2 − 1 − x2 + 1)/(h)  =  limh → 0(2xh + h2)/(h) = limh → 0(h(2x + h))/(h)  =  limh → 02x + h = 2x
Así, mT = 2x, entonces en el punto en el punto ((1)/(2),  − (3)/(4)),  la pendiente de la recta tangente es:
mT = 2((1)/(2)) = 1.
Como la ecuación de una recta es: y = y0 = m(x − x0),
\strikeout off\uuline off\uwave offentonces la ecuación de la recta tangente, será:\uuline default\uwave default
y − y0 = f(x0)(x − x0)
Así, y + (3)/(4) = (x − (1)/(2))de donde: y = x − (5)/(4), es la ecuación de la recta tangente.
La figura 3.4↓ ilustra gráficamente la curva de la función y recta tangente en el punto dado.
figure Imagenes/Grafica_137.png
Figure 3.4 Recta tangente en ((1)/(2),  − (3)/(4))

3.2.1 Derivadas de algunas funciones

Hallar la derivada de la función dada.
s(t)  =  limh → 0(sin(t + h) − sint)/(h) limh → 0(sintcosh + costsinh − sint)/(h) limh → 0(sint(cosh − 1) + costsinh)/() limh → 0(sint(cos − 1))/(h) + limh → 0(costsinh)/(h) limh → 0( − sint(1 − cosh))/(h) + costlimh → 0(sinh)/(h) cost.
Entonces, si s(t) = sint, s(t) = cost
Ahora note que, de a, b y c se tiene:
f(x) f(x)
k 0
x 1
x2 2x
x3 3x2
xn ?
Table 3.1 Algunas derivadas.
¿Cuál será la derivada de una función polinómica de grado n?.
Sea f(x) = xn, así:
f(x)  =  limh → 0((x + h)n − xn)/(h) limh → 0(xn + nxn − 1h + n(n − 1)xn − 2h + ... + hn − xn)/(h) limh → 0(h(nxn + 1 + n(n − 1)xn − 2h + ...hn − 1))/(h)
\strikeout off\uuline off\uwave offFactorizando y simplificando
limh → 0(nxn − 1 + n(n − 1)xn − 2h + ... + hn − 1) = nxn − 1, 
Así si f(x) = xn ⇒ f(x) = nxn − 1.
Ejemplo:
Nota: Otras notaciones de derivada.
Si y = f(x) es una función de x, además de f, otras notaciones, para su derivada son: f(x) = (dy)/(dx) = (df)/(dx) = y’ = Dxf = Dxy

3.2.2 Reglas de derivación

Sean f y g dos funciones tales que f y g existan, y k ∈ ℝ, entonces:
  1. Derivada de una suma algebraica
    (d)/(dx)(f±g) = (df)/(dx)±(dg)/(dx)
    o
    (f±g)(x) = f(xg(x)

  2. Derivada de una constante por una función
    (d)/(dx)(kf) = k((df)/(dx))

  3. Derivada del producto de dos funciones
    (d(fg))/(dx) = ((df)/(dx))g + f((dg)/(dx))

  4. Derivada del cociente de dos funciones
    (d)/(dx)((f)/(g)) = (((df)/(dx))g − f((dg)/(dx)))/(g2x),  g(x) ≠ 0 , x

1.
(d)/(dx)(f±g)  =  limh → 0((f(x + h)±g(x + h))±(f(x)±g(x)))/(h)  =  limh → 0(f(x + h)±f(x)±g(x + h)±g(x))/(h) aplicando propiedades de los límites.  =  limh → 0(f(x + h)f(x))/(h)±limh → 0(g(x + h)±g(x))/(h)  =  (d)/(dx)f(x)±(d)/(dx)g(x), por lo tanto, (d)/(dx)(f(x)±g(x))  =  (d)/(dx)f(x)±(d)/(dx)g(x)
2.
(d)/(dx)(kf(x))  =  limh → 0((kf(x + h) − kf(x)))/(h)  =  limh → 0(k(f(x + h) − f(x)))/(h), por propiedades de los limites  =  klimh → 0(f(x + h) − f(x))/(h), por definición de derivada  =  kf(x) Así, (d)/(dx)(kf(x))  =  k(d)/(dx)(f(x))
3.
(d)/(dx)(fg)  =  limh → 0((f(x + h)g(x + h)) − (f(x)g(x)))/(h)
\strikeout off\uuline off\uwave offSumando un "cero especial" al anterior límite y simplificando, se tiene:
 =  limh → 0(f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x) + f(x + h)g(x) − f(x + h)g(x))/(h),  así  =  limh → 0(f(x + h)[g(x + h) − g(x)] + g(x)[f(x + h) − f(x)])/(h)  =  limh → 0f(x + h)((g(x + h) − g(x)))/(h) + limh → 0g(x)((f(x + h) − f(x)))/(h)
\strikeout off\uuline off\uwave offAhora como f y g son diferenciables, entonces son continuas, así:
limh → 0f(x + h) = f(x) y limh → 0g(x) = g(x), entonces:  =  f(x)limh → 0(g(x + h) − g(x))/(h) + g(x)limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h) f(x)g(x) + g(x)f(x)  =  f(d)/(dx)(g) + g(d)/(dx)(f)
4. Se deja como consulta al lector.
Ejemplo:
Sean f(x) = x2 − 2 y h(x) = 4x3 − 5x + 1, hallar:
f(x), h’(x), (f − h)’, ((h)/(f))’, (3f(x))’, (fh(x)).

f(x) = 2x

h’(x) = 4(3x2) − 5
h’(x) = 12x2 − 5

 = (2x) − (12x2 − 5)
 =  − 12x2 + 2x + 5

 = ((12x2 − 5)(x2 − 2) − ((4x3 − 5x + 1)(2x)))/((x2 − 2)2), x ≠ ±(2)

Nota: Observe que el anterior ejemplo se hizo de dos formas, se aconseja usar la primera, ya que es la derivada de una constante por una función.
 = (2x)(4x3 − 5x + 1) + (x2 − 2)(12x2 − 5)
 = 8x4 − 10x2 + 2x + 12x4 − 5x2 − 24x2 + 10
 = 20x4 − 39x2 + 2x + 10

Causas por las cuales f(x0) no existe.
Recordemos que por definición fes el límite:
(4.1) f(x) = limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)

Si queremos evaluar fen un valor especifico x = x0,  entonces la ecuación es:
(4.2) f(x0) = limh → 0(f(x0 + h) − f(x0))/(h)

Sea
x = x0 + h
entonces, h = x − x0
y si
h → 0 , entonces, x → x0

Reemplazando en la ecuación 4.2↑ tenemos:
(4.3) f(x0)limh → 0(f(x) − f(x0))/(x − x0)

Esta expresión es una definición alternativa de la derivada evaluada en un valor x = x0.
Usando la ecuación 4.3↑, determinar si f(x) = |x|, es una función diferenciable en x = 0
f(x) = |x|; x = 0
Como f'(x0)=limh → 0(f(x) − f(x0))/(x − x0) , entonces
limh → 0(|x| − 0)/(x − 0) = limh → 0(|x|)/(x)
Como limh → 0 + (|x|)/(x) ≠ limh → 0 − (|x|)/(x) entonces limh → 0(|x|)/(x) no existe.
Luego f(x) = |x| no es diferenciable en x = 0
figure Imagenes/Grafica_113.png
Figure 3.5 f(x) = |x|
Nota: Observe la gráfica de f(x) = |x|, qué sucede en x = 0?.
¿Sera f(x) = x1 ⁄ 3 diferenciable en x = 0?
Si f(x) = x1 ⁄ 3 ⇒ f(x) = (x − 2 ⁄ 3)/(3) = (1)/(3x2 ⁄ 3), así f(0) no está definido.
f(x) = (1)/(3x2 ⁄ 3), así f(0) no está definida.
Esto es, f(x) = x1 ⁄ 3 no es diferenciable en x = 0
figure Imagenes/Grafica_114.png
Figure 3.6 f(x) = x1 ⁄ 3
Nota: Al igual que con la función anterior, ¿Qué sucede en x = 0 con la fución f(x) = x1 ⁄ 3?
  1. La curva de la función presenta un cambio brusco en el punto x = x0 donde se evalúa f.
  2. La curva presenta una recta tangente vertical en el punto x = x0 donde se evalúa f.

3.2.3 Derivadas de las funciones trigonométricas

f(x)  =  limh → 0(sin(x + h) − sinx)/(h)  =  limh → 0(sinxcosh + sinhcosx − sinx)/(h)  =  limh → 0((sinxcosx − sinx)/(h) + (sinhcosx)/(h))  =  limh → 0(sinxcosh − sinx)/(h) + limh → 0(sinhcosx)/(h)  =  limh → 0(sinx(cosh − 1))/(h) + limh → 01(cosx)  =  limh → 0( − sinx((1 − cosh))/(h)) + cosx  =   − sinxlimh → 0(1 − cosh)/(h) + cosx  =  ( − sinx)0 + cosx  =  cosx
f(x)  =  limh → 0(cos(x + h) − cosx)/(h)  =  limh → 0(cosxcosh − sinxsinh − cosx)/(h)  =  limh → 0(cosx(cosh − 1))/(h) − limh → 0(sinxsinh)/(h)  =   − limh → 0(1 − cosh)/(h)limh → 0cosx − limh → 0sinxlimh → 0(sinh)/(h)  =   − 0 × cosx − sinx × 1  =  0 − sinx  =   − sinx
f(x) = tanx = (sinx)/(cosx), aplicando regla del cociente.
f(x)  =  ((cosx)(cosx) − (sinx)( − sinx))/(cos2x)  =  (cos2x + sin2x)/(cos2x)  =  (1)/(cos2x)  =  sec2x
f(x) = cotx = (cosx)/(sinx), aplicando la regla del cociente.
f(x)  =  ( − sinxsinx − cosxcosx)/(sin2x)  =  ( − sin2x − cos2x)/(sin2x)  =  ( − (sin2x + cos2x))/(sin2x)  =  ( − 1)/(sin2x)  =   − csc2x
f(x) = secx = (1)/(cosx), aplicando la regla del cociente.
f(x)  =  (0cosx − 1( − sinx))/(cos2x)  =  (sinx)/(cos2x)  =  (sinx)/(cosx)(1)/(cosx)  =  tanxsecx
s(t)  =  csct s(t) limh → 0(1)/(sint) limh → 0( − cost)/(sin2t) limh → 0(1)/(sint)*limh → 0(cost)/(sint) limh → 0 − csct*cott
Resumen
2
(sinx) = cosx
(cosx) =  − sinx
(tanx) = sec2x
(secx) = secxtanx
(cscx) =  − cscxcotx
(cotx) =  − csc2x
\endmulticols
Derivar las siguientes funciones.
f(x) = 6x + 5
(d)/(dx)(x2sinx) = (d)/(dx)(x2)sinx + x2(d)/(dx)(sinx)
 = 2xsinx + x2cosx
(d)/(dt)(x2t) = x2
Note que (d)/(dx)(x2t) = 2tx. (Aquí tes constante)
g(t)  =  (1)/(2)t − (1)/(2)sect + t(1)/(2)secttant  =  (1)/(2t(1)/(2))sect + t(1)/(2)secttant

3.2.4 Forma alternativa de la derivada de una función

f(x) = limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)
Si evaluamos f en x = c,  tenemos
f(c) = limh → 0(f(c + h) − f(c))/(h)

Si x = c + h y h → 0 ⇒ x → c
f(c) = limx → c(f(x) − f(c))/(x − c), resulta ser la derivada de una función evaluada en un punto.
Ejemplo:
figure Imagenes/Grafica_118.png
Figure 3.7 Ejemplo a
f(x) = cosx y f((π)/(2)) = cos(π)/(2) = 0
f(x) = |x|. Por definición |x| =  x,   x ≥ 0         − x,   x < 0  ,
Usando la definición de derivada.
f(x) = limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h)
f(x) = limh → 0(f(x + h) − f(x))/(h) ⇒  1.limh → 0 − ( − x − h + x)/(h)  = limx → 0 − ( − 1) =  − 1        2.limh → 0 + (x + h − x)/(h)  = limx → 0 + (1) = 1 
Como limh → 0 −  ≠ limh → 0 + , entonces, limh → 0f(x) no existe.
Así la función f(x) = |x| no es derivada en x = 0
En las funciones cuyas gráficas tienen cambios bruscos, en un punto la derivada no existe en un punto.

3.2.5 Causas para que no exista la derivada de una función, en un punto

  1. Cambios bruscos (en ese punto la función no es derivable).
  2. La gráfica de la función admita una recta vertical.
  3. Una discontinuidad.
figure Imagenes/Grafica_121.png
Figure 3.8 Recta tangente vertical

3.2.6 Derivada implica continuidad

Prueba
Sea f una función diferenciable en x = c, entonces:
f(x) = f(c) + (f(x) − f(c))/(x − c)(x − c)
así:
limx → cf(x)  =  limx → cf(c) + limx → c(f(x) − f(c))/(x − c)(x − c) limx → cf(x) = f(c) + f(c)(0)
Entonces si f(c) existe :
limx → cf(x) = f(c), por lo tanto,
La función f es continua en x = c
Nota: El reciproco del anterior enunciado no es cierto.

3.2.7 Derivadas de orden superior

Si f es la derivada de la función f, entonces f también es una función, y es la primera derivad de f.
Si la derivada de f existe, recibe el nombre de segunda derivada de f y se representa como f′′ (se lee: “f biprima”).
Análogamente se define la tercera derivada de f como la primera derivada de f′′ si ésta existe. La tercera derivada se representa f′′′.
La n-ésima derivada de la función f, donde n es un entero positivo mayor que 1, es la primera derivada de la (n − 1)-ésima derivada de f. Se representa por f(n). Otras símbolos para la n-ésima derivada de f son:
Hallar también la tercera derivada de las funciones dadas:
f(x) = (1)/(2(x))
Nota: Observe las siguientes derivadas que son diferentes.
g(t) = (x)t; g(t) = (x)
 ≠ 
g(x) = 3t; g(x) = 0

3.2.8 Regla de la cadena: Regla para derivar la función compuesta

Si y es una función de u, definida por y = f(u) y Duy existe, y si u es una función de x, definida por u = g(x) y Dxu existe, entonces y es una función de x y Dxy existe y está dado por:
Dxy = DuyDxu
Ejemplo:
Sea
f(x) = x + 2;f(x) = 1

Ahora, si g(x) = (x + 2)2, ¿Cuál es g(x)?.
entonces: g(x) = 2x + 4.

f(x) = 3x2 + 12x + 6.

La función g puede verse como la composición de
h(x) = x + 2 y f(x) = x2,   así:
g(x) = (foh)(x) = f(h(x)) = (x + 2)2
g(x) = (d)/(dx)(foh(’x)) = (d)/(dx)(f(h(x)))
 =  f(h(x))h’(x) 2(x + 2)(1) 2x + 4
Derivar utilizando la regla de la cadena.
f(t) = (5)/(3)((3t2 + 1)/(1 − t))2 ⁄ 3((6t(1 − t) − (3t2 + 1)( − 1))/((1 − t)2))
 = (5)/(3)((3t2 + 1)/(1 − t))2 ⁄ 3((6t − 6t2 + 3t2 + 1)/((1 − t)2))
 = (5)/(3)((3t2 + 1)2 ⁄ 3)/((1 − t)2 ⁄ 3)(( − 3t2 + 6t + 1))/((1 − t)2)
 = (5)/(3)((3t2 + 1)2 ⁄ 3( − 3t2 + 6t + 1))/((1 − t)8 ⁄ 3)

(dh)/(dx) = (1)/(2(tan((x2 + 1)/(1 − x))2))sec2((x2 + 1)/(1 − x))22((x2 + 1)/(1 − x))((2x(1 − x) − (x2 + 1)( − 1))/((1 − x)2))
h’(x) = (sec2((x2 + 1)/(1 − x))22((x2 + 1)/(1 − x))((2x(1 − x) − (x2 + 1)( − 1))/((1 − x)2)))/(2(tan((x2 + 1)/(1 − x))2))
h’(x) = ((sec2((x2 + 1)/(1 − x))2[(x2 + 1)( − x2 + 2x + 1)])/((1 − x)3))/((tan((x2 + 1)/(1 − x))2))
h’(x) = (( − x4 + 2x3 − 2x − 1)sec2((x2 + 1)/(1 − x))2)/((1 − x)3(tan((x2 + 1)/(1 − x))2))

u(x) = cos(cos((2)/(x)))( − sin((2)/(x)))(( − 2)/(x2))
u(x) = (2cos(cos((2)/(x)))sin((2)/(x)))/(x2)

3.2.9 Derivación Implícita

Algunas relaciones se expresan, explicitamente como función de x, no obstante, no siempre es así, por ejemplo sin(x + y) = 3. Para derivar este tipo de función se utiliza la derivación para la cual consiste en derivar para x, teniendo presente que y es la función.
Derivar con respecto a x:
(dy)/(dx)(x − siny) = 5 − y
(dy)/(dx) = (5 − y)/(x − siny)
2x + 2y(dy)/(dx) = 0
(dy)/(dx) = ( − 2x)/(2y) =  − (x)/(y) ⇒ (dy)/(dx) =  − (x)/(y)
Ahora, derivando explícitamente, se tiene: \strikeout off\uuline off\uwave offcomo\uuline default\uwave default y2 = 4 − x2 ⇒ y = (4 − x2)
(dy)/(dx) = ( − 2x)/(2(4 − x)) = ( − x)/((4 − x2)) =  − (x)/(y)
(dy)/(dx) =  − (x)/(y)
Ejercicio.
(d2y)/(dx2) = (d)/(dx)((dy)/(dx)) = (d)/(dx)( − (x)/(y))
(d2y)/(dx2) = ( − y + x(dy)/(dx))/(y2) = ( − y + x( − (x)/(y)))/(y2) = ( − y − (x2)/(y))/(y2) = ( − y2 − x2)/(y3) =  − ((y2 + x2))/(y3) =  − (4)/(y3)
Como la pendiente de la recta tangente es:
mtan = f(x0) , entonces,
Derivamos, así: 3x2y + x3(dy)/(dx) + 3y2(dy)/(dx)x + y3 = 0
(dy)/(dx)(x3 + 3xy2) =  − y3 − 3x2y
(dy)/(dx) = ( − (y3 + 3x2y))/(x3 + 3xy2)
(dy)/(dx)|(1, 2) = ( − (8 + 6))/(1 + 12) =  − (14)/(13)
Encontramos la pendiente de la recta tangente en (1, 2) y es  − (14)/(13)
Así la ecuación de la recta es
y − y0 = f(x0)(x − x0)
y − 2 =  − (14)/(13)(x − 1)
figure Imagenes/Grafica_138.png
Figure 3.9 Recta tangente a la curva x3y + y3x = 10
Derivar con respecto a x.
x(1)/(2) + y(1)/(2) = 2
y verificar que la derivada.
(d2y)/(dx2) = (1)/(x(1)/(2))
x(1)/(2) + y(1)/(2) = 2
(1)/(2(x)) + (1)/(2(y))(dy)/(dx) = 0
(dy)/(dx) =  − (2(y))/(2(x)) ⇒ (dy)/(dx) = ( − (y))/((x))
(d2y)/(dx2) = (d)/(dx)((dy)/(dx)) = (d)/(dx)(( − (y))/((x)))
 = (( − (x))/(2(y))(dy)/(dx) + ((y))/(2(x)))/(x)
 = (( − (x))/(2(y))( − (y))/((x)) + ((y))/(2(x)))/(x) = ((1)/(2) + ((y))/(2(x)))/(x)
 = ((2(x) + 2(4))/(4(4)))/(x) = ((2((x) + (4)))/(4(x)))/(x)
 = (((x) + (y))/(2(x)))/(x) = ((2)/(2(x)))/(x) = (1)/(x(3)/(2))
Nota: En general, la ecuación de una recta tangente a una curva y = f(x) en un punto (x0, y0) es dada por:
y − y0 = f(x0)(x − x0)
figure Imagenes/Grafica_122.png
Figure 3.10 Recta tangente y recta normal
Si la pendiente de la recta tangente es m = f(x0) y y = f(x)
¿Cuál será la pendiente de la recta N?
N es la recta Normal, la cual es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia, por lo tanto su pendiente es dada por:
mN =  − (1)/(f(x0))
¿Cuál es la ecuación de la recta normal?
y − y0 = (1)/(f(x0))(x − x0)

3.2.10 Tasas de Variación Relacionadas o Razón de Cambio

Un problema de razón de cambio, es una situación que involucra tasas de variación que se encuentran relacionadas, generalmente, esta variación sucede a lo largo del tiempo. La idea con este tipo de problemas es que el estudiante, encuentre el modelo matemático que permita resolver la situación planteada, para ello se aconseja al estudiante:
A continuación se ilustra con un ejemplo.
Cada arista de un cubo variable crece a razón de 3 pulgadas por segundo, ¿qué tan rápido aumenta el volumen del cubo cuando la arista es de 6 pulgadas de longitud?
Solución.
Sea x: longitud de la arista, así (dx)/(dt) = 3ps, (dv)/(dt) = ?
Como el volumen del cubo es x3, entonces
(dv)/(dt)  =  3x2(dx)/(dt)  =  3x2(3) = 9x2
y así
(dv)/(dt)|x = 6 = 9(6)2 = 324
por lo tanto, el volumen del cubo varía a razon de 324 pulgadas por segundo, cuando sus lados miden 6 pulgadas.

3.3 Ejercicios

  1. Utilice la definición para que evalúe la derivada de f(x) = x2 + 2x
  2. Encuentre la derivada de las funciones dadas y simplificar las respuestas.
    1. f(x) = (x3)/(3) + (3)/(x3)
    2. f(x) = (x + 1)/((x))
    3. y = (x − (1 − x2))2
  3. Utilice la regla de la cadena, para encontrar la derivada de las siguientes funciones
    1. f(x) = (x2)/(1 − cosx)
    2. f(x) = (sinx − cosx)/(1 − tanx)
    3. f(x) = ((1 + sinx) − (1 − sinx))/(x)
    4. y = (x2 + 5x − 4)
    5. y = 3(x2 − 5x)
    6. y = 4(x3 − x + 3)
    7. y = 3(x3 + x2 − 7)
  4. Derive implícitamente:
    1. xy + sin(x + y) = cos(xy)
    2. (tanx − tany)/(x + y) = y
    3. (xy)/(x2 + y2) = 1
  5. Halle la segunda derivada de las funciones: f(x) = sinx, g(t) = cos(t − 1)
  6. Una escalera de 12 pies de largo descansa sobre una pared vertical. Si el fondo de la escalera se desliza alejandose de la pared a una razón de 2 fts, ¿qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera cuando la parte inferior esta a 6 ft de la pared?
  7. Un hombre canina a lo largo de un camino recto a una velocidad de 4 fts. Una lámpara esta localizada en el fondo a 40 ftdel camino y está enfocada sobre el hombre. ¿A qué velocidad rota cuando el hombre esta a 15 ft del punto sobre el camino más cercano a la lámpara?

4 Aplicaciones de la derivada

Una importante utilización de la derivada consiste en que ella permite encontrar valores extremos de una función, ligado esto a obtener soluciones óptimas a cierto tipo de preseleccnes de la vida. A continuación se definen los valores extremos de una función, los cuales se ilustran gráficamente y posteriormente se estudiarán los criterios para elaborar gráficas de funciones utilizando los elementos estudiados en los capítulos anteriores, junto con el uso de la derivada. en solución de problemas de optimización.
Observe las siguientes gráficas, en ellas ubique los puntos «pico» y analice la pendiente de la recta tangente en ese punto.
figure Imagenes/Grafica_123.png
Figure 4.1 Relación entre la pendiente de una recta tangente y la derivada de y = f(x).
figure Imagenes/Grafica_124.png
Figure 4.2 Pendiente de rectas tangentes y valores extremos.
Observemos con atención los cuatro siguientes gráficos para determinar el comportamiento de una función y sus valores máximos y mínimos.
figure Imagenes/Grafica_125.png
Figure 4.3 Valores Extremos
figure Imagenes/Grafica_127.png
Figure 4.4 Valores Extremos
observe que las gráficas anteriores nos ilustran sobre el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en los puntos máximos y mínimos. En todos ellos la pendiente es cero, y recordando la interpretación geométrica de la derivada, concluimos que en esos puntos máximos y mínimos la derivada es cero.

4.1 Valores máximo y Mínimo Relativo

4.1.1 Valor Máximo

f tiene un valor máximo relativo en x = c,  si existe un intervalo (a, b) que contiene a c, tal que x ∈ (a, b), f(x) ≤ f(c).

4.1.2 Valor Mínimo

f tiene un valor mínimo relativo en x = 0 si existe un intervalo (a, b) que contiene a c, tal que x ∈ (a, b), f(x) ≥ f(c)
Nota:
  1. Los valores Máximo Relativo y Mínimo Relativo se llaman valores Extremos Relativos.
  2. Al valor mas grande de todos los máximos relativos se les llama valor máximo absoluto y al valor mas pequeño de todos los valores mínimos relativos se le llama valor mínimo absoluto.
  3. Por lo anterior los valores extremos de una función se encuentran en aquellos valores de c del dominio de la función para los cuales f(c) = 0, o también, en donde f(x) no existe.
  4. Si c ∈ Df y si f(c) no existe, entonces c es llamado número crítico de f.
Para la función f(x) = x3 + 3x2 + 1, encontrar sus extremos relativos.
f(x) = 3x2 + 6x = 0

Si y sólo si 3x(x + 2) = 0, esto es, si x = 0 o x =  − 2
Ahora, f’(0) = 0
f’( − 2) = 12 − 12 = 0
vamos a encontrar ahora los valores funcionales.
f(0) = 1(0, 1)  y f( − 2) =  − 8 + 12 + 1 = 5 ( − 2, 5).
Así los valores extremos del a función son 1 y 5, los cuales se encuentran en los puntos (0, 1) y ( − 2, 5)

4.2 Valores Máximos y Mínimos Absolutos

4.2.1 Valor Máximo Absoluto

La función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo I, si existe un c ∈ I tal que f(c) ≥ f(x),  ∀ x ∈ I. f(c) es llamado valor máximo absoluto.

4.2.2 Valor Mínimo Absoluto

La función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo I, si existe un c ∈ I tal que f(c) ≤ f(x),  ∀ x ∈ I. f(c) es llamado valor mínimo absoluto.

4.3 Problema de optimización

A continuación se ilustra con un ejemlo una aplicación de valores extremos de una función.
figure Imagenes/Grafica_129.png
Figure 4.5 Ejemplo a
Sea A: Área del rectángulo, así
(4.5) A = xy , 0 ≤ x ≤ (45)/(2) 0 ≤ y ≤ 30
donde x son los lados adyacentes e y el lado paralelo al río, y así, de acuerdo a la información dada:
2(1200x) + 1800y = 54000,   de donde

(4.6) y  =  (54000 − 2400x)/(1800) =  − (4)/(3)x + 30
Reemplazamos 4.6↑ en 4.5↑, para obtener; una ecuación de una sola variable:
A(x) = x(30 − (4)/(3)x) = 30x − (4)/(3)x2,   derivando,

A(x) = 30 − (8)/(3)x = 0 ⇔ (8)/(3)x = 30 ⇒ x = (90)/(8) = 11.25

Reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones y así:
y  =   − (4)/(3) × (90)/(8) + 30  =   − 15 + 30 = 15
O sea que las dimensiones del terreno deben ser
x = 11.25m,  y = 15m
Y así el área máxima a encerrar es 168.75m2.

4.4 Teorema de Rolle

Sea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), si f(a) = f(b) = 0, entonces existe al menos un c ∈ (a, b), tal que f(c) = 0.
figure Imagenes/Grafica_130.png
Figure 4.6 Teorema de Rolle

4.5 Teorema del Valor Intermedio para derivada

Sea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que:
f(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).
figure Imagenes/Grafica_131.png
Figure 4.7 Teorema del Valor Intermedio
Geométricamente el teorema del valor intermedio para derivadas nos dice que se tiene una función continua en [a, b], entonce la pendiente de la recta tangente a f en x = c ∈ (a, b), es igual a la pendiente de la recta secante a f en el mismo intervalo.

4.6 Descripción del comportamiento de una función con la ayuda de la derivada

4.6.1 Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Una función f es creciente en [a, b] si x1, x2 ∈ [a, b], 
f(x1) < f(x2)
siempre que x1 < x2
Una función f es decreciente en [a, b] si x1, x2 ∈ [a, b],
f(x1) > f(x2)
siempre que x1 < x2

4.6.2 Función Monótona

Si una función es creciente o decreciente, entonces ella es monótona.

4.6.3 Funciones Crecientes y Decrececientes y Criterio de la primera Derivada

Si f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b),  entonces:
  1. Si f(x) > 0 en (a, b), entonces f es creciente en el intervalo [a, b], (f[a, b]).
  2. Si f(x) < 0 en (a, b), entonces f es decreciente en el inveralo [a, b],  (f[a, b]).
Para la función f(x) = x3 + 3x2 + 1, encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f’(x) = 3x2 + 6x = 0 ⇔  3x(x + 2) = 0,   esto es, si x = 0  ó x =  − 2
Así, los valores x = 0 y x =  − 2 nos dividen la recta real en tres intervalos, evaluando la primera derivada en un número arbitrario al interior de cada uno de esos intervalos, se tiene
f( − 3) > 0
f( − 1) < 0
f(1) > 0
Gráficamente lo anterior se ve en la siguiente figura.
figure Imagenes/Grafica_136.png
Figure 4.8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
Por lo tanto, los intervalos de crecimiento de f son: ( − ∞,  − 2)(0, ∞)
El intervalo de decrecimiento de f es: ( − 2, 0) ya que f( − 2) = 5.
Por lo anterior en x =  − 2 la función toma el valor máximo que es 5, ya que f( − 2) = 5, y en x = 0 la función toma el valor mínimo que es 1, ya que f(0) = 1.

4.6.4 Criterio para determinar analíticamente Extremos Relativos

Los siguientes pasos se deben realizar para hallar valores extremos:
  1. Hallar f’(x).
  2. Hallar los valores para los cuales f’(x) = 0 o f’(x) no existe.
    Si f(x) = (1)/(x − 1), entonces f(1) no existe.
  3. Utilizar criterio de primera derivada para determinar valores máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

4.6.5 Criterio de la segunda derivada y puntos de inflexión

figure Imagenes/Grafica_132.png
Figure 4.9 Concavidad

4.6.6 Teorema de concavidad

Sea f una función dos veces derivable sobre I = (a, b),  entonces:
  1. Si f′′(x) > 0, para todo x ∈ I, entonces f es cóncava hacia arriba, en I
  2. Si f′′(x) < 0, para todo x ∈ I, entonces f es cóncava hacia abajo, en I.

4.6.7 Puntos de inflexión

Sea f continua en x = c, el punto (c, f(c)) es punto de inflexión de f, si f es cóncavo hacia arriba a un lado de c y cóncava hacia abajo al otro lado. Los puntos de inflexión se encuentran para aquellos valores para los cuales f′′(x) no existe, o f′′(x) = 0.

4.6.8 Segunda derivada y extremos locales

Sean f y f′′ dos funciones que existen x ∈ I = (a, b), si f(c) = 0  y c ∈ I, entonces:
  1. Si f′′(c) > 0, entonces f(c) es valor mínimo de f, en I.
  2. Si f′′(c) < 0, entonces f(c) es valor máximo de f, en I.
Utilizar el criterio de la primera y segunda derivada para encontrar en la función
g(x) = (x)/(1 + x2)
g(x) = (x)/(1 + x2).
Derivando g, se obtine:
g’(x) = ((1 + x2) − x(2x))/((1 + x2)2) = (1 − x2)/((1 + x2)2)
Se buscan los valores de x para los cuales g’(x) = 0 o g’(x) no existe. En este caso, g’(x) es definida x.
g(x) = 0  si y sólo si 1 − x2 = 0 ⇔ x = ±1, Así, derivando por segunda vez:
g’’(x) = ( − 2x(1 + x2)2 − (1 − x2)(2(1 + x2)(2x)))/((1 + x2)2)
g’’(x) = ( − 2x − 2x3 − 4x + 4x3)/((1 + x2)3) = (2x3)/((1 + x2)3)
Se buscan los valores para los cuales, g’’(x) = 0, ó, g’’(x) no exista.
En este caso g’’(x) está definida para todo x, el denominador de g nunca es cero así:
g’’(x) = 0 ⇔  2x(x2 − 3) = 0,   por lo tanto
x = 0 , ó, x = ±(3); estos valores son los candidatos a punto de inflexión
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, se tiene:
Como g( − 2) < 0,  g(0) > 0 y g(2) > 0; entonces se tienen los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento.
figure Imagenes/Grafica_133.png
Figure 4.10 Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Por otra parte,
En x =  − 1, f tiene un valor mínimo, ya que: g( − 2) < 0     g(0) > 0  y
en x = 1 f tiene un valor máximo, ya que: g(0) > 0     g(2) < 0 
Por lo tanto, el punto( − 1,  − (1)/(2)) es un punto mínimo y (1, (1)/(2))es el punto máximo de la función g.
Análisis de concavidad.
Los valores de 0,  − (3) y (3), dividen ahora la recta en cuatro intervalos, como lo ilustra la figura 4.11↓.
g′′( − 2)  <  0 g′′( − 1)  >  0 g′′(1)  <  0 g′′(2)  >  0

figure Imagenes/Grafica_134.png
Figure 4.11 Comportamiento de la concavidad
Como lo muestra la figura 4.11↑, en x =  − (3) , x = 0  y x = (3) hay puntos de inflexión, que son: ( − (3), ( − (3))/(4)), (0, 0)  y ((3), ((3))/(4)); y g es cóncava hacia arriba es ( − (3), 0)((3), ∞) y cóncava hacia abajo en ( − ∞,  − (3))(0, (3)).
Por otra parte los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:
Intervalos de crecimiento ( − 1, 1)
Intervalos decrecimiento ( − ∞,  − 1)(1, ∞)
Para hallar la asíntotas se tiene:
Finalmente, la curva de la función es dada en la figura 4.12↓.
figure Imagenes/Grafica_135.png
Figure 4.12 f(x) = (x)/(1 + x2)

4.7 Ejercicios

  1. Esboce la gráfica de las funciones dadas, utilizando todos los criterios vistos: asíntotas verticales y horizontales, ceros de la función, valores extremos (máximos y mínimos), intervalos de crecimiento y decrecimiento, criterio de la primera derivada, intervalos de concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo, criterio de la segunda derivada, puntos de inflexión
    1. f(x) = x2 + 2x − 1
    2. g(t) = sint
    3. h(x) = (1 − x)/(x − 2)
    4. f(t) = ((x − 3)2)/((x2 − 4))
  2. Ejercicios de Aplicación de valores máximos y mínimos
    1. Una fábrica de cajas de cartón para regalo, tiene disponibles, cartones de 15 × 12 cms. El diseño de la caja, implica cortar cuadrados en cada una de las esquinas, y doblando los lados. Encuentre la longitud requerida para el lado del cuadrado a cortar si se desean tener las cajitas de máximo volumen.
    2. Encuentre el número en el intervalo cerrado [0, 2], tal que la diferencia entre dicho número y su cuadrado sea máximo.
    3. Un islote está ubicado en un punto A, 5Km mar adentro del punto más cercano B, en una playa recta. Una persona se encuentra en el islote y desea ir hacia el punto C, 9Km playa debajo de B. La persona entonces puede alquilar un bote por $15.000 el kilómetro y viajar por agua hacia y un punto P, entre B y C, y de ahí rentar un coche, cuyo alquiler cuesta $10.000 pesos por kilómetro y recorrer el camino restante de P a C. Encuentre la ruta más económica para ir del punto A al punto C.

Bibliografía